Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

А. П. Мовчан

Методи динамічної оптимізації

Навчальний посібник

2011

Зміст

МЕТОДИ ДИНАМІЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ 5

Математичне формулювання задачі 5

Геометрична інтерпретація задачі оптимального керування 6

1. Методи варіаційного обчислення в задачах оптимального керування 7

1.1. Основні поняття варіаційного обчислення 7

1.1.1. Диференціал функціонала 8

1.1.2. Види екстремумів функціоналів 9

1.1.3. Необхідні й достатні умови екстремума функціонала 9

1.2. Найпростіша задача варіаційного обчислення 10

1.3. Рівняння Ейлера 11

1.4. Рівняння Ейлера-Пуассона 12

1.5. Умови трансверсальності 12

1.6. Функціонали, що залежать від декількох функцій 15

1.7. Варіаційні задачі на умовний екстремум 15

1.7.1. Постановка задачі 16

1.7.2. Рівняння Ейлера-Лагранжа 16

1.7.3. Основні задачі класичного варіаційного обчислення 17

1.8. Канонічна форма рівнянь Ейлера. Рівняння Гамільтона 18

1.9. Необхідні умови в канонічній формі для задачі Лагранжа 19

1.10. Необхідні умови в канонічній формі для задачі Больца 20

1.11. Дискретне рівняння Ейлера 22

1.12. Область застосування методів варіаційного обчислення 23

1.13. Застосування варіаційного обчислення для рішення задач із обмеженнями 23

1.14. Приклади обчислення екстремумів функціоналів у задачах оптимального керування 24

2. Принцип максимуму 32

2.1. Постановка задачі 33

2.2. Сутність принципу максимуму 34

2.3. Формулювання принципу максимуму 35

2.3.1. Задача з рухливими границями 36

2.3.2. Принцип максимуму для неавтономних систем 37

2.4. Задача про граничну швидкодію 37

2.5. Властивості функції Гамільтона 38

2.6. Геометрична інтерпретація принципу максимуму 39

2.7. Дискретний принцип максимуму 40

2.8. Застосування принципу максимуму для рішення задач оптимального керування 42

2.8.1. Оптимальне по швидкодії САУ 42

2.8.2. Лінійно- квадратичні задачі керування 46

2.8.3. Чисельні методи рішення задач оптимального керування 51

2.9. Область застосування принципу максимуму 55

3. Динамічне програмування 55

3.1. Принцип оптимальності 55

3.2. Безперервні системи. Рівняння Беллмана 56

3.3. Рішення рівняння Беллмана 59

3.4. Дискретна форма методу динамічного програмування 60

3.5. Зв'язок динамічного програмування із принципом максимуму й варіаційним обчисленням 65

З.6. Область застосування методу динамічного програмування 66

4. Синтез оптимальних САУ 67

4.1. Керованість і спостережуваність об'єктів 67

4.2. Аналітичне конструювання регуляторів 69

4.3. Синтез оптимальних САУ об'єктами із запізнюванням у керуванні 71

4.4. Синтез оптимальних САУ при ненульових заданих значеннях стану 73

4.5. Синтез оптимальних САУ при наявності постійно діючих збурювань 73

4.6. Оцінка стану об'єкта керування. Регулятори стану 75

4.7. Спостерігачі зниженого порядку 78

Методи динамічної оптимізації

Під динамічною оптимізацією будемо розуміти оптимізацію таких режимів технологічних процесів, у яких всі або частина змінних змінюються в часі, а рішення задачі оптимізації є функцією часу, задачі цього типу відносяться до задач оптимізації функціоналів.

Розглянуті тут методи застосовуються для знаходження рішень задач, у яких функціональна складова рішення залежить не тільки від часу, але може залежати й від просторового аргументу.

Математичний апарат, розроблений для рішення задач оптимізації функціоналів, називається варіаційним обчисленням, методи, що викладаються тому в даній главі, називають також варіаційними методами оптимального керування й оптимізації.

Математичне формулювання задачі

Об'єкт керування задається рівнянням стану

(1)

Відомі крайові (граничні) умови в моменти часу ,

, (2)

де , - деякі задані множини обмежень на лівий і правий кінець траєкторії руху об'єкта.

На вектор керування й вектор стану накладаються обмеження

, (3)

у загальному випадку залежні від часу, причому

(4)

У загальному випадку області й можуть бути замкнуті або відкриті.

Необхідно визначити оптимальне програмне (розімкнуте) керування або оптимальне керування зі зворотним зв'язком (замкнуте керування) і відповідну оптимальному керуванню траєкторію руху об'єкта , які доставляють екстремум функціоналу

, (5)

тобто необхідно знайти

Геометрична інтерпретація задачі оптимального керування

Введені поняття простору станів і простору керуючих впливів дозволяє додати геометричну наочність задачам оптимального керування.

Будь-який процес керування відображається одночасно у двох просторах і . Траєкторія знаходиться в результаті рішення задачі оптимізації. Траєкторія для розглянутої системи визначається вибором і може розглядатися як наслідок останньої.

Обмеження, накладені на координати, виділяють у просторі станів замкнуту область припустимих станів, а обмеження на керування виділяють замкнуту область припустимих керувань.

Нехай на кожну координату накладене обмеження. Обмежуючі поверхні в цьому випадку будуть плоскими взаємно ортогональними.

Для двовимірної системи область буде являти собою прямокутник (рис. 3.1,а).

Рис.3.1.

Якщо граничні значення взаємозалежні, то обмежуюча поверхня може виявитися досить складною, наприклад:

Припустима область обмежена окружністю, рис. 3.1,б.

Будь-який рух системи відображається траєкторіями в і області.

Існує нескінченна множина траєкторій, розташованих усередині області та з'єднуючих точки початкового й кінцевого станів , .

Припустимими є тільки ті, які відповідають припустимим керуванням, тобто керуванням, що не виходять за межі області.

Задача оптимального керування полягає в тому, щоб із числа припустимих траєкторій вибрати таку, яка забезпечить екстремальне значення прийнятого критерію оптимальності.

1. Методи варіаційного обчислення в задачах оптимального керування

Варіаційне обчислення - це розділ математики, у якому вирішуються задачі визначення найбільших і найменших значень функціоналів, а також знаходження функцій, на яких досягається екстремальне значення функціонала.