22. Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей в курсе геометрии профильной школы.
23. Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямых и плоскостей в курсе геометрии профильной школы.
Изучение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в курсе стереометрии может осуществляться в различной последовательности (сначала перпендикулярность, а затем параллельность и наоборот).
В настоящее время их изучение в школе начинается с аффинной ее части – с параллельности. Это дает возможность пораньше познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, позволяет показать роль аксиом при изложении этого раздела, развивать конструктивные навыки учащихся в процессе решения позиционных задач. Тема играет важную роль в процессе формирования пространственных представлений учащихся, обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности и перпендикулярности прямых. Основная цель изучения – дать учащимся систематические знания о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
Всю тему «параллельность в пространстве» можно разделить на 4 блока:
1) параллельность прямых в пространстве;
2) параллельность прямой и плоскости;
3) параллельность плоскостей в пространстве;
4) параллельная проекция и ее свойства. Изображение пространственных фигур на плоскости.
Для новых трех блоков можно выделить общий план изучения:
1) определение;
2) признак;
3) вопрос существования и единственности;
4) свойства (для параллельных плоскостей).
Всю тему «перпендикулярность в пространстве» можно условно разделить на три части:
1) перпендикулярность прямых в пространстве;
2) перпендикулярность прямой и плоскости;
3) перпендикулярность плоскостей.
Содержание темы:
1) перпендикулярность прямых;
2) перпендикулярность прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости; перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость; расстояние точки до плоскости, теоремы о параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости;
3) перпендикулярность плоскостей; теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей; расстояние от прямой до параллельной ей плоскости; расстояние между параллельными плоскостями.
При изучении понятий данной темы можно придерживаться следующей методической схемы:
1) формулировка определения учителем;
2) иллюстрация понятия на модели куба (параллелепипеда), геометрии «классной комнаты»;
3) логический анализ формулировки определения;
4) упражнения на распознавание понятия; приведение примеров из окружающей обстановки с соответствующим обоснованием.
При изучении теорем, выражающих признаки параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей, целесообразно придерживаться такой методической схемы:
1) мотивация изучения признака;
2) раскрытие содержания теоремы на стереометрическом ящике, на реальных объектах;
3) формулировка признака;
4) сообщение идеи доказательства, совместное составление плана доказательства;
5) оформление доказательства в соответствии с принятыми требованиями;
6) показ применимости признака на простейшей модели;
7) закрепление при решении задач.
Сначала, как известно, вводится – определяется перпендикулярность (параллельность), затем рассматривается вопрос о существовании такого расположения, тесно связанный с признаками перпендикулярности (параллельности) и конструктивными задачи, т.е. воображаемыми построениями перпендикулярных (параллельных) прямых и плоскостей. Эти построения весьма разнообразны.
Со второй половины темы «перпендикулярность в пространстве» акцент делается уже на практические стереометрические задачи. Это обусловлено тем, что введено понятие перпендикулярности, понятие «расстояние» и рассмотрена теорема о трех перпендикулярах, дающая основную конфигурацию – классический прямоугольный треугольник (перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной).
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Раскроем понятия перпендикулярных прямых в пространстве и перпендикулярных прямой и плоскости в пространстве. Сначала обратимся к определениям.
Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 900.
При этом прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, еслиона перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Для решения задач использовать определение не очень удобно, так как проверять перпендикулярность прямой к любой прямой лежащей в плоскости невозможно, потому что прямых в плоскости бесконечно много. Поэтому в решениях задач используется признак перпендикулярности прямой и плоскости, она звучит следующим образом.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой.