Задачи Задача 1 Определение минимально необходимого числа измерений в серии многократных измерений.

Условия:

Для определения содержания механических примесей, при подготовке воды в санитарной системе проведена серия многократных разноточных соединений. Результаты измерений сведены в Таблицу 1.

Требуется определить минимально необходимое количество измерений для обеспечения доверительной погрешности результата измерения =1 г/ . Доверительную вероятность принять Р=0,95

Таблица 1 ­– Исходные данные результата измерений

7	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Результаты измерений mi	24	22	23	21	25	24	26	25	23	22	25

1. Определим среднее арифметическое значение (оцениваем математическое ожидание):

2. Определим среднеквадратичное отклонение отдельных результатов измерений относительно их среднего значения:

3. 

4. По результатам измерений можно определить доверительный интервал, в котором лежит истинное значение измеренной величины.

где t_n – табличный коэффициент стьюдента, который зависит от числа измерений и выбранного значения доверительной вероятности P(l). Доверительная вероятностьP(l)=0,95. При заданной вероятности коэффициент стьюдента составит 2,776;

Истинное значение измеряемой величины будет находиться в интервале

l=23.73+0,89=24.62

l= 2373-0.89=22.84

[22.84;24.62]

Определим минимально необходимое количество измерений по формуле:

Теперь определим минимально необходимое число измерений для обеспечения доверительной погрешности результата измерения не более 1 мм.

Вывод:

Проведенные расчеты показывают, что при проведении 11 измерений, мы с 100% вероятностью обеспечиваем доверительную погрешность результата измерений содержания механических примесей в воде не более 0.89 г/м³. Так как нам необходимо обеспечить доверительную погрешность результата измерения содержания механических примесей в воде не более 1г/м³. И как показывают расчеты для данной доверительной погрешности измерений нам достаточно. Определение оптимального числа измерений в серии многократных измерений имеет большую важность, так как заниженное число измерений не позволяет качественно оценить точность результата измерений.

Задача 2 Обработка многократного измерения

Условия:

Для определения количества содержания ртути в воде произведено 60 измерений в разных частях водоема, измерения проводились следующим образом: в разных частях водоема бралось по одному литру воды и определялась масса содержимого в них ртути. Результаты, общее число измерений в серии многократного измерения и число повторений каждого результата представлены в табл. 1.

2) Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины, l- зазор между стеновыми панелями, мм.

3) В случае подтверждения гипотезы нормального распределения следует найти доверительный интервал для истинного значения зазора между стеновыми панелями в строящемся доме.

Таблица 1 – Исходные данные

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Результаты измеренийSi	21,25	21,30	21,35	21,40	21,45	21,50	21,55	21,60	21,65	21,70	21,75	21,80	21,85	21,90
Число повторений mi	1	2	3	4	6	7	7	7	6	6	5	3	2	1

Выбираем минимальный и максимальный интервал:

х_min=21,25

х_max=21,90

1. Определяем число интервалов разбиения:

2. Определяем шаг интервала (диапазон):

3)Определяем величину интервалов, середину интервала, частоты, относительные частоты. Результаты сводим в таблицу 2.

Таблица 2 – Полученные интервалы

Интервалы	20,25; 21,35	20,35;21,45	20,45;20,54	21,54;21,64	21,64;21,74	21,74;24,84	21,84;21,93	∑
Середина X*i	21,30	21,4	21,5	21,6	21,7	21,8	21,9
Частоты ni	3	7	13	14	12	8	3	60
Относительные частоты интервала P*i	0,05	0,116	0,217	0,233	0,2	0,133	0,05	0.999

4)Вычисляем выборочную среднюю:

5)Вычисляем выборочную дисперсию:

6. Вычисляем выборочное среднеквадратичное отклонение:

=21.558 =0,023 =0,152

Предполагаем, что распределение нормальное, и по правилу трех сигм определяем интервал:

Все значения измерений попадают в данный интервал.

Проверяем гипотезу нормального распределения по критерию Пирсона. Данные представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Теоретические и эмпирические частоты

Интервалы, мм	20,25; 21,35	20,35;21,45	20,45;20,54	21,54;21,64	21,64;21,74	21,74;24,84	21,84;21,93	∑
Теоретические частоты, Ni	4	9	15	15	11	5	1	60
Эмпирические частоты, ni	3	7	13	14	12	8	3	60

Теоретические частоты в интервалы определяются по формуле:

где P_i – теоретическая вероятность попадания отдельного значения интервала. Которая определяется по формуле:

60

60

60

60

N₅ =60

60

60

При использовании критерия Пирсона за меру отклонения принимается:

Затем сравниваем рассчитанное значение χ² с табличным значением χ² с заданным уровнем значимости равным 0,95 или α=0,05 и количеством степеней свободы определенным по формуле для нормального закона распределения:

где K – число интервалов.

Табличное значение χ²_0,05;4 составило = 9,5.

Так как уравнение соблюдается:

χ²< χ²_0,05;4

0<9,5

То, гипотеза о нормальном распределении подтвердилась, поэтому можно сделать вывод.

Вывод:

При обработке результатов многократных равноточных измерений мы установили, что условие χ²< χ²_0,05;4 выполняется и закон о нормальном распределении принимать можно. Доверительный интервал рассчитать удалось. Для выполнения данного условия, и принятия закона о нормальном распределении проведено достаточное количество испытаний.