Задания для самостоятельного выполнения

• В магазине имеется 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели. Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине? Сколько можно сделать различных покупок, содержащих один сорт шоколадных конфет и один сорт карамели?

Ответ: 10 и 24.

• В отряде 5 разведчиков, 4 связиста и 2 санитара. Сколькими способами можно выбрать одного солдата так, чтобы он был разведчиком или санитаром? Сколькими способами можно составить разведгруппу из трех человек, чтобы в нее вошли разведчик, связист и санитар?

Ответ: 7 и 40.

• В букинистическом магазине продаются 6 экземпляров романа И.С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, имеется 5 томов, состоящих из романов «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, состоящих из романов «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?

Ответ: 134.

• В цветочном городе решили провести выборы мэра, заместителя мэра и начальника полиции. Сколько различных вариантов исходов выборов может произойти, если в городе живет 100 коротышек?

Ответ: 970 200.

• Даны цифры от 1 до 9. Называется случайное четырехзначное число, состоящее из этих цифр. Найти вероятность того, что оно нечетное, если: а) цифры не повторяются; б) повторяются.

Ответ: в обоих случаях 5/9.

• Из колоды (36 карт) вынимают две. Какова вероятность того, что они одной масти?

Ответ: 8/35.

• На карточках написаны отдельные буквы слова «пилот». Какова вероятность того, что при их случайном раскладе выпадет это слово.

Ответ: 1/120.

• Агрохимик проверяет 6 типов минеральных удобрений; ему нужно провести несколько опытов по изучению совместного влияния любой тройки удобрений. Для каждого опыта берется участок 0,25 гектар. На какой площади проводится все исследование?

Ответ: 5 гектар.

• 25 выпускников школы решили обменяться фотокарточками. Сколько было всего заказано фотокарточек?

Ответ: 600.

Алгебра событий

• Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба вместе: .

• Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из них.

• Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в том, что наступит и событие А, и событие В: .

• Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в том, что наступят все эти события.

Рассмотрим основные свойства сумм и произведений событий:

. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

• Пример 6.3.1. Какова вероятность того, что Ваш день рождения придется на выходной день.

Вероятность того, что день рождения придется на субботу, равна 1/7. Аналогичный вывод можно сделать и для воскресенья. Таким образом, вероятность того, что день рождения придется на выходной день, равна .

. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

. Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1.

• Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если прямое событие обозначают за А и вероятность его появления р, то противоположное ему событие обозначают , а его вероятность q.

. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле: .

• Если наступление некоторого события не связано с каким-то другим событием, то в этом случае имеет место безусловная вероятность. В противоположном случае, когда значение вероятности события А каким-либо образом зависит от события В, имеет место условная вероятность. Обозначается условная вероятность и означает «условная вероятность события А при условии, что событие В уже наступило».

. Вероятность совместного появления двух событий равно произведению условной вероятности одного из них на безусловную вероятность другого: .

• Пример 6.3.2. Ученик извлекает 2 раза по одному билету из 34. Какова вероятность того, что ученик сдаст экзамен, если выучил 30 билетов, а первый билет вытащил неудачно?

Пусть событие А – ученик вытащил первый билет неудачно, а событие В – удачно. При этом событие В/А – ученик вытащил второй билет удачно, но первый билет – неудачно; Тогда необходимо найти вероятность события . Используя свойство , можно утверждать, что

.

• Независимыми называется события, когда вероятность появления одного из них не изменяет вероятности появления другого. Для независимых событий условная вероятность равна его безусловной вероятности.

. Для двух независимых событий вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей: .

. Вероятность совместного появления несколько взаимно независимых событий равна произведению их вероятностей: .

• Пример 6.3.3. На улице опросили троих случайных прохожих. Какова вероятность, что хотя бы двое из них родились в понедельник?

Обозначим за событие А – первый прохожий родился в понедельник, В – второй, С – третий, D – хотя бы двое из троих. Очевидно, что , а . Искомое событие можно представить в виде суммы несовместных слагаемых . События А, В, С – независимые друг от друга, поэтому справедливо, что

. Вероятность появления хотя бы одного из нескольких взаимно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий: .

. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .

. Предположим, что событие А может наступить только совместно с одним из несколько взаимно несовместных событий , , …, , называемых гипотезами. Тогда справедлива формула полной вероятности

• Пример 6.3.4. Имеются три коробки: в первой – 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных, в третьей – 8 белых. Наугад выбирается коробка и из нее наугад выбирается шар. Какова вероятность того, что он окажется черным.

Обозначим за – шар будет извлечен из первой коробки, – из второй, – из третьей. Очевидно, что . Тогда – черный шар будет извлечен из первой коробки ( ), – из второй ( ), – из третьей ( ). Тогда вероятность события А – извлечения черного шара – будет равна .

. В этих же условиях справедлива формула Байеса: предположим, что событие А уже наступило и требуется найти условную вероятность гипотезы, которая при этом имела место, тогда .

• Пример 6.3.5. На фабрике 30% продукции производится первым цехом, 25% – вторым и 45 – третьим. Брак в первом цехе 1%, во втором – 1,5%, в третьем – 2%. Наугад выбранная продукция оказалась браком. Какова вероятность того, что она была произведена первым цехом.

Обозначим за – продукция была выпущена в первом цехе, – во втором, – в третьем. Очевидно, что ; ; . Тогда – брак был произведен в первом цехе ( ), – во втором ( ), – в третьем ( ). Тогда вероятность события А – извлечения черного шара – будет равна

Из формулы Байеса следует, что .