Задания для самостоятельного выполнения

Доказать, что высказывание P→(Q→(P∧Q)) является тавтологией.

Основные понятия теории вероятности

• В окружающей жизни все события можно разделить на три вида:

– невозможные, т.е. события, которые обязательно не произойдут при выполнении определенных условий;

– достоверные, т.е. события, которые обязательно произойдут при выполнении определенных условий;

– случайные, т.е. события, которые либо произойдут, либо не произойдут при выполнении определенных условий.

• В теории вероятности событие трактуется как результат испытания и обозначается А, В, С и т.п. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. События образуют полную группу, если в результате испытания может наступить хотя бы одно из них, т.е. можно утверждать, что появление события из полной группы является достоверным событием.

• Вероятность характеризует степень возможности наступления того или иного события. По классическому определению вероятность – это отношение числа благоприятных исходов к их общему количеству. Благоприятными исходами для события А называются исходы, в которых оно может наступить. Если обозначить за т число благоприятных исходов события А, а за п общее число исходов этого события, то вероятность наступления события А равна

• Пример 6.1.1. В коробке имеется 1 белый, 2 синих и 3 красных шара. Производится эксперимент, связанный с извлечением одного шара. Определить вероятность того, что вынутый шар окажется синим.

Общее число исходов данного эксперимента равно 6, т.е. общему числу шаров, а благоприятных всего 2. Таким образом, вероятность того, что вынутый шар окажется синим, равна 1/3.

• Основными свойствами вероятности являются следующие:

. Вероятность достоверного события равна 1.

. Вероятность невозможного события равна 0.

. Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1.

Задания для самостоятельного выполнения

• На жетонах выбиты числа от 1 до 10. Наудачу извлекается жетон. В каких из следующих ответов указаны все возможные исходы испытания: а) {четное, нечетное}; б) {простое, 4, 6, 8, 9, 10}; в) {четное, 1, 3, 7, 9}; г) {не более трех, не менее четырех}.

Ответ: а, г.

• Даны числа от 1 до 30. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число является делителем числа 30?

Ответ: 8/30.

• В коллекции 200 монет, из которых две 14 века, пять 15 века, шестнадцать 16 века, двадцать 17 века, двадцать 18 века, тридцать четыре 19 века, а остальные 20 века. Какова вероятность того, что наудачу выбранная монета датирована 16-17 веками.

Ответ: 0,08.

• Какова вероятность того, что кость, наудачу извлеченная из полного набора домино, имеет сумму очков, равную пяти?

Ответ: 3/28.

Элементы комбинаторики

• Комбинаторика – наука, которая исследует количество комбинаций, которые можно получить из заданного массива элементов, и подчиненных определенным правилам.

• Правило сложения: если выбор каждого из объекта , , …, можно выполнить соответственно , , …, способами, то выбор «или , или , …, или » можно произвести способами.

• Пример 6.2.1. Из одного города в другой можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существует 2 авиамаршрута, 1 – железнодорожный и 3 – автобусных. Найти общее число маршрутов.

По правилу сложения из одного города в другой можно, следуя одним из маршрутов.

• Правило умножения: если выбор каждого из объекта , , …, можно выполнить соответственно , , …, способами, то выбор «и , и , …, и » можно произвести способами.

  • Пример 6.2.2. Найти общее число трехзначных чисел.

Трехзначное число можно записать в виде , причем объект а можно записать 9 цифрами (все цифры за исключением «0»), а объекты b и с всеми 10 цифрами. Тогда общее число трехзначных чисел равно .

• Перестановки – это упорядоченные комбинации, каждая из которых отличается друг от друга порядком следования элементов. Если общее количество элементов равно п, тогда количество перестановок равно

• Пример 6.2.3. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр «6», «8», «5», если каждую цифру можно использовать только один раз.

Количество таких чисел равно . Действительно, это будут числа 568, 586, 658, 685, 856, 865.

• Размещение без повторений – это упорядоченные комбинации из п элементов по т ( ) элементов, в которых каждая из комбинаций отличается либо составом, либо порядком следования элементов. Количество размещений без повторений равно .

• Пример 6.2.4. В соревнованиях участвует 10 команд. Сколькими способами могут распределиться первые три места.

Способов будет ровно .

• Размещение с повторениями – это упорядоченные комбинации из п элементов по т элементов, каждая из которых отличается либо составом элементов, либо порядком их следования, при этом каждый элемент может повторяться. Количество размещений с повторениями равно .

  • Пример 6.2.5. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр «6», «5», «8», если цифры могут повторяться.

Количество таких чисел равно . Действительно, это будут числа 55, 56, 58, 65, 66, 68, 85, 86, 88.

• Сочетания – это неупорядоченные комбинации из п элементов по т элементов, каждая из которых отличается составом элементов. Количество сочетаний равно .

• Пример 6.2.6. На окружности отмечено 8 различных точек. Сколько различных треугольников с вершинами в данных точках можно построить?

В данном случае, не играет роли, в какой последовательности брать вершины, т.е. треугольник АВС равен треугольнику ВАС. Таким образом, комбинации неупорядоченные, поэтому число треугольников равно .

• Пример 6.2.7. Группа туристов состоит из 15 юношей и 5 девушек. Они выбирают по жребию 4 человека, идущих впереди. Какова вероятность, что в эту группу попадут 2 юношей и 2 девушек.

Общее число исходов , число же благоприятных исходов по правилу умножения равно . Тогда вероятность будет равна .