Лабораторная работа № 3.5 «сложение гармонических колебаний»

Цель работы: получение на осциллографе картины, возникающей при сложении двух гармонических колебаний при разных условиях.

I. Теоретическая часть

1). Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Любое гармоническое колебание можно представить как вращающийся со скоростью вектор длины , проекция которого на ось в каждый момент времени равна смещению .

или

Пусть тело участвуют в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одного направления с равными частотами.

Построим векторные диаграммы этих колебаний методом вращающегося вектора. Поскольку векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью dφ/dt, то разность фаз φ₀₂ – φ₀₁ между ними остается постоянной.

,

где

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления, совершает гармонические колебания в том же направлении с той же частотой, амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

2). Сложение одинаково направленных колебаний с близкими частотами. Биения.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны, а частоты отличаются на Δω.

Отсюда:

, где

Результирующим колебанием является гармоническое колебание с циклической частотой ω и меняющейся амплитудой , такой вид колебаний называется биением. Частота изменения амплитуды А_б в два раза больше частоты изменения косинуса, так как амплитуда биения берется по модулю, т. е. частота биений Δω, период биений .

Сплошные линии дают график результирующего колебания, а огибающая их – график медленно меняющейся амплитуды.

3). Сложение гармонических колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль оси и .

Траектория результирующего колебания имеет форму эллипса.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуды колебаний и разности фаз.

а). Если ,

, ,

, ,

Траектория результирующего колебания – прямая, результирующее колебание является гармоническим с частотой и амплитудой , совершающимся вдоль прямой.

б). Если ,

, ,

Траектория результирующего колебания – эллипс, оси которого совпадают с осями координат.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, замкнутые траектории, описываемые колеблющейся точкой, довольно сложные и называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависят от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

По виду фигур Лиссажу можно определить неизвестную частоту колебаний или соотношение частот. Для этого надо провести на фигуре Лиссажу две параллельные осям координат прямые (не проходящие через точки пересечения фигуры Лиссажу с самой собой). Отношение числа точек пересечения прямой, параллельной оси , к числу точек пересечения прямой, параллельной оси , с фигурой Лиссажу даст отношение частот, т.е. .

,

Прямые проведены через точки пересечения фигуры Лиссажу с самой собой, это неверно.