Построение кода Рида - Соломона

Задана длина кода n = 15. Число информационных символов k = 9. Находим минимальное кодовое расстояние dмин = n – k + 1= 15 – 9 +1=7. Находим степень порождающего многочлена равную dмин – 1 =7 – 1= 6. Порождающий многочлен в соответствии с теоремой Безу записывается в виде g(х) = (х – α)∙(х- α²)∙(х – α³)∙(х – α³)∙(х – α⁴)∙(х – α⁵)∙(х – α⁶) = (х+2)∙(х+4)∙(х+8)∙(х+3)∙(х+6)∙(х+12) =х⁶ + 7х⁵ +9х⁴ +3х³ +12х² +10х + 12.

Здесь использована арифметика полей Галуа и приведённая выше таблица. Примитивный элемент α=2.

Пусть сообщение имеет вид 7,5,10,0,9,1,1,1,9, что соответствует многочлену

P(х) = 9х⁸ + х⁷ +х⁶ +х⁵ +9х⁴ +0х³ +10х² +5х +7.

Умножим этот многочлен на х⁶ , чтобы справа оказалось 6 нулей, вместо которых затем припишем остаток от его деления на g(х) . После умножения получим

P1(х)= 9х¹⁴ + х¹³ +х¹² +х¹¹ +9х¹⁰ +0х⁹ +10х⁸ +5х⁷ +7х⁶.

Слагаемое в многочленах с нулевым коэффициентом пропускают (здесь оно оставлено для наглядности и его можно было не записывать). После деления многочлена P1(х) на g(х) получаем остаток r(х) =13х⁵ + 6х⁴+ 14х³ +15х²+15х +3. Прибавляя его к P1(х) получим многочлен G(х) кодовой комбинации кода Рида – Соломона.

G(х)= 9х¹⁴ +х¹³ +х¹² +х¹¹ +9х¹⁰ +10х⁸ +5х⁷ +7х⁶ +13х⁵ +6х⁴ +14х³ +15х² +15х +3.

Многочлен комбинации кода делится на образующий многочлен g(х) без остатка.

Задание

А) Закодировать кодом Рида-Соломона кодовую комбинацию 9, п1,п2 ,10,0,9,1,1,1,9. Здесь п1,п2 цифры номера М студента в журнале группы. Номер М привести на титульном листе задания.

Б)Проверить правильность кодирования делением полученной кодовой комбинации на g(х).

В) Привести запись полученной кодовой комбинации в двоичном коде (для этого необходимо соответствующие коэффициенты многочлена кодовой комбинации записать четырёхразрядным двоичным кодом.

Привести подробное выполнение пунктов А) и Б) задания.

Защита задания будет заключаться в объяснении выполнения процесса умножения и деления многочленов в арифметике поля Галуа.

Задание 7. Коды, обнаруживающие ошибки

Введение. Число t возможных ошибок в кодовой комбинации длиной n равно числу сочетаний из n по t, обозначаемое как (n, t),

n ∙ (n – 1) ∙ …….∙( n – (t – 1))

(n, t) = -------------------------------------- .

t!

Рассматриваются следующие коды: код на одно сочетание; код с числом единиц кратным 3; код с проверкой на чётность; корреляционный код.

В коде на одно сочетание, называемого иногда, как код с постоянным весом, в n разрядах содержится ролвно m единиц.

Код с числом единиц кратным трём строиться на основе неизбыточного кода, к которому справа добавляются два разряда. Значение этих разрядов берётся такое, чтобы число единиц в кодовой комбинации было кратно трём.

В коде с проверкой на чётность к разрядам неизбыточного кода добавляется один разряд, значение которого таково, чтобы число единиц в полученном коде было чётным.

В корреляционном коде к каждому разряду неизбыточного кода добавляется разряд с инверсным значением.

Задание. Закодировать 5 сообщений указанными выше кодами. Указать их корректирующую способность. Число разрядов неизбыточного кода равно п1+п2 +3 (если п1 или п2равны нулю, то вместо них взять число 4).

Контрольные вопросы

1. Какие ошибки позволяет корректировать заданный преподавателем код?

1. При передаче сообщения указанным преподавателем кода необходимо ли разделять буквы сообщения пробелами?

2. Чему равно минимальное кодовое расстояние указанного кода?

3. Какова избыточность указанного кода?

4. К неизбыточному коду добавим один разряд с проверкой на нечётность. Сравнить его корректирующую способность с кодом с проверкой на чётность.

5. Является ли код Грэя корректирующим кодом?

6. Привести пример кодирования и декодирования кода Грея длиной в 5 символов.

7. Какова корректирующая способность кода с повторением комбинации?

8. Какова корректирующая способность кода с инверсным повторением комбинации?

9. Какова корректирующая способность кода с двукратным повторением кодовой комбинации?

10. Сравнить помехоустойчивость корреляционного кода и кода с простым повторением разряда кода.

11. Может ли код обнаруживать число ошибок большее, чем это следует из его кодового расстояния?

12. Какие действия могут выполняться приёмной стороной при обнаружении ошибки?

13. Поясните. Можно ли код, исправляющий ошибки, использовать для целей обнаружения ошибок.

14. Код предназначен для обнаружения t ошибок. Может ли он обнаруживать ошибки большей или меньшей кратности?