3 Классификация игр
Обычно игры классифицируют следующим образом:
– По количеству игроков: игры 1, 2, n игроков;
– По количеству стратегий: конечные и бесконечные игры. Если у всех игроков конечное число стратегий, то такая игра конечная, иначе – игра бесконечная;
– По характеру взаимоотношений между игроками: бескоалиционные и кооперативные игры. Игра называется бескоалиционной, если игроки не заключают между собой никаких соглашений. Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной игрой. В кооперативной игре игроки могут заключать соглашения с целью увеличить свои выигрыши.
– По свойствам функций выигрышей: непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю, то это – игра с нулевой суммой. Игра двух игроков c нулевой суммой называется антагонистической. В такой игре один игрок выигрывает за счет другого. Конечная антагонистическая игра называется матричной игрой. В играх с ненулевой суммой все игроки в сумме могут получить меньше их суммарного взноса. Например, в лотерее её организаторы всегда в выигрыше, а участники в сумме получают меньше их суммарного взноса;
– По количеству ходов: одноходовые и многоходовые. Среди многоходовых игр выделим позиционные игры, в которых несколько игроков последовательно делают ходы; выигрыши игроков зависят от стратегии выбора ходов (пример – шашки, шахматы, карточные игры, игровые автоматы, динамические экономические системы и т. д.);
– По информированности игроков: игры с совершенной и несовершенной информацией. В игре с совершенной информацией на каждом шаге игрокам известно, какие ходы были сделаны ранее (например, шашки и шахматы). В игре с несовершенной информацией игроки могут не знать, в какой позиции они находятся (некоторые стохастические игры, в частности, карточные игры). К играм с несовершенной информацией сводятся игры с неполной информацией (также известные как байесовские игры). В отличие от игр с несовершенной информацией, где неполная информированность игроков возникает в процессе игры, в играх с неполной информацией неполная информированность некоторых игроков возникает еще до начала игры, как следствие ассимметричной информированности игроков (покупатель меньше знает о качестве товара, чем продавец, фирма точно не знает, какую технологию использует ее конкурент, и т. д.).
4 Представление игр
Игры представляют собой строго определённые логико-математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.
Игры в экстенсивной, или расширенной форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.
На рисунке 1 – игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает – выбрать стратегию A или R. Скорее всего, первый игрок выберет U, а второй – A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.
Рисунок 1 – Представление игр в экстенсивной форме
Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.
Игру, описанную подобным образом, называют игрой в развернутой, или экстенсивной форме, а само описание, как правило, составляют в виде дерева игры, аналогичного дереву решений. Игры в развернутой форме называют также позиционными играми.
Игру в развернутой форме называют игрой с полной информацией, если в ней нельзя делать одновременно несколько ходов, и если участникам известны выборы, сделанные при предшествующих ходах, включая и случайные ходы. Примером игры с полной информацией являются шахматы. Покер представляет собой игру с неполной информацией, так как игрокам неизвестно, какие карты находятся на руках у противника.
Второй способ описания игры состоит в том, что рассматриваются все возможные стратегии каждого игрока и определяются платежи, соответствующие любой возможной комбинации стратегий всех игроков. Описанная таким образом игра называется игрой в нормальной форме.
В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки (рисунок 2).
Элементами этой матрицы являются пары чисел, первое из которых определяет величину выигрыша игрока 1, а второе — игрока 2.
Рисунок 2 – Платежная матрица для игры двух участников
Игрок 1 выбирает одну из m стратегий A1, A2, …, Am . Игрок 2 выбирает одну из n стратегий B1, B2, …, Bn . Пара чисел на пересечении строки и столбца, которые соответствуют стратегиям, избранным игроками, показывает величину выигрыша каждого из них.
Платежная матрица имеет размерность m×n, где m – (конечное) число возможных стратегий игрока 1, а n – (конечное) число возможных стратегий игрока 2. Предполагается, что каждому из игроков известны все элементы платежной матрицы.
Кооперативные игры используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.
Если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N\C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N — количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N — множество всех игроков, а v: 2N → R — это характеристическая функция.