Тема к зачёту

2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ

МНОЖЕСТВА И РЕШЕТКИ

Семантика рекурсивных программ использует понятия и результаты теории частично упорядоченных множеств.

Определение. Частично упорядоченным множеством (ч.у.м.) называется множество А вместе с бинарным отношением , удовлетворяющим условиям:

(рефлексивность): хх

(антисимметричность): ху, ух х=у

(транзитивность): xy, yz xz

для всех x,y,zA.

Определение. Пусть А – ч.у.м. и ХА. Элемент сА (dA) называется верхней (нижней) гранью для Х, если хс (xd) для всех хХ.

Если верхняя грань с (нижняя грань d) принадлежит Х, то с (соответственно d) называется наибольшим (наименьшим) элементом для Х. Очевидно, что наибольший (наименьший) единствен: если x≤c и x≤d для всех хХ, то d≤c и c≤d и, значит, c = d. Для обозначения наибольшего и наименьшего элементов множества Х используются обозначения:

с = max X и d = min X.

Наименьший и наибольший элементы ч.у.м. (А,≤) обозначаются T и _┴ .

Определения. Пусть ХА. Рассмотрим множества

Y = {y | y – верхняя грань для Х },

Z = {z | z – нижняя грань для Х }.

Если множество Y (множество Z) имеет наименьший (наибольший) элемент, то этот элемент называется супремумом (инфимумом) для Х и обозначается sup X (соответственно, inf X). Таким образом,

sup X = min Y = min{y | y – верхняя грань для Х },

inf X = max Z = max{z | z – нижняя грань для Х }.

Элементы sup X и inf X называются, соответственно, наименьшей верхней гранью и наибольшей верхней гранью для Х.

Очевидно, что справедливы соотношения:

sup{a} = a, inf{a} = a;

sup{a,b} = b и inf{a,b} = a, если ab.

Вместо sup{а,b} и inf{a,b} можно также писать ab и ab.

Утверждение 1. Если существуют sup{a,b}, sup{b,c}, sup{a,b,c}, то

sup{a, sup{b,c}} = sup{sup{a,b},c}} = sup{a,b,c},

inf{a, sup{b,c}} = inf{inf{a,b},c}}} = inf{a,b,c}.

Другими словами, операции sup{x,y} inf{x,y} ассоциативны.

Доказательство.

sup{a,b,c} = sup{{a}{b,c}} = sup{sup{a}, sup{b,c}}

= sup{a, sup{b,c}}.

sup{a,b,c} = sup({a,b}{c}} = sup{sup{a,b}, sup{c}}

= sup{sup{a,b},c}.

Двойственным образом получаем соотношения для инфимумов.

Ч.т.д.

Для супремума и инфимума двух элементов используются также обозначения: ab = T и _┴ .

Определения. Ч.у.м. А называется решеткой, если каждые два его элемента имеют супремум и инфимум: ab, ab ϵ А. Решетка называется ограниченной, если она имеет наименьший _┴ и наибольший T элементы.

Легко видеть, что ограниченную решетку можно определить как ч.у.м., для которого каждое конечное множество его элементов имеет супремум и инфимум. В самом деле, T = sup A и _┴ = inf A.

Определения. Ч.у.м. А называется полной решеткой, если для каждого его подмножества ХА существуют sup X и inf X. (Таким образом, полная решетка всегда ограничена.)

Определения. Ч.у.м. А называется верхней (нижней) полурешеткой, если для любых двух его элементов a и b существует супремум sup{a,b} (соответственно, инфимум inf{a,b}). Если это верно не только двух элементов, но и для произвольного подмножества, то решетка, то полурешетка А называется полной.

Замечание. Ясно, что

inf = max{yA | y – верхняя грань для }

= max{yA | (xA)(x xy)}

= max{yA | (xA)xy} = max A.

= max{yA | y = max А} = max A = T.

Двойственным образом, sup = min А = _┴ .

Понятие решетки можно также определить с помощью алгебраических терминов.

Определение. Решеткой называют алгебру <A; , > с двумя бинарными операциями, удовлетворяющими соотношениям:

(идемпотентность): xx = x и xx =x,

(коммутативность): ху = ух и ху = ух,

(ассоциативность): (xy)z = x(yz) и (xy)z = x(yz),

(поглощение): х(ху) = х и х(ху) = х.

Утверждение 3. Определения решетки как ч.у.м. и как алгебраической структуры эквивалентны.

Доказательство.

А) Первое определение Второе определение.

Идемпотентность и коммутативность очевидны. Ассоциативность была уже доказана. Поглощение следует из того, что xy x и x xy.

Б) Второе определение Первое определение.

Отношение порядка в множестве А можно определить двумя способами: xy _df xy = y или xy _df xy = х. На самом деле мы получаем одно и то же отношение порядка, так как

xy = y  xy = х.

В самом деле,

xy = y х(ху) = ху (поглощение) х = ху,

xy = х у (ху) = ух (поглощение) у = ху,

Докажем, что отношение действительно является порядком, т.е. оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Рефлексивность:

хх, так как хх = х

Антисимметричность:

ху, ух ху = у, ух = х (коммутативность) у = х.

Транзитивность:

xy, yz xy = y, yz = z (xy)z = z (ассоциативность) x(yz) = z xz = z xz

Докажем теперь, что sup{x,y} = xy.

хsup{x,y}, уsup{x,y}

хsup{x,y} = sup{x,y}, у sup{x,y} = sup{x,y}

(хsup{x,y}) (у sup{x,y}) = sup{x,y} sup{x,y}

(хy) sup{x,y} = sup{x,y} хysup{x,y}.

Таким образом, хysup{x,y}.

x(xy) = x, y(xy) = y xxy, yxy sup{x,y} xy.

Таким образом, sup{x,y} xy. Ч.т.д.

Утверждение 4. Если А и В – решетки, то их декартово произведение АВ также является решеткой. Если А и В – полные решетки, то АВ – полная решетка.

Доказательство. Если А и В – решетки в смысле первого определения (т.е. рассматриваемые как ч.у.м.), то декартово произведение решеток есть множество АВ с порядком

(х,у) (х’,y’) _df xx’ и yy’.

Пусть Х – произвольное подмножество множества АВ. Положим X₁ = {xA | (y) (x,y)X} и X₂ = {уA | (х) (x,y)X}. Ясно, что для любого элемента с = (a,b) АВ имеет место:

с – верхняя грань для Х a – верхняя грань для X₁ и

b – верхняя грань для X₂.

Отсюда следует, что sup X = (sup X₁)(sup X₁). Аналогично имеем inf X = (inf X₁)(inf X₁).

Если для решетки взять второе определения (т.е. рассматривать ее как алгебру), то в декартовом произведении АВ определяем

(х,у)(х’,y’) =_df (хх’, уy’) и (х,у)(х’,y’) =_df (хх’, уy’).

Эти два определения декартова произведения эквивалентны, так как (ввиду независимости компонент пары) имеет место:

(х,у) (х’,y’) (х,у)[(х,у)(х’,y’)] = (х,у)

(х,у) [(х,у)(х’,y’)] = (х,у)

Ясно, что (ввиду независимости компонент пары) в алгебре <АВ;, > для операций и выполняются соотношения идемпотентности, коммутативности, ассоциативности и поглощения. Поэтому эта алгебра является решеткой. Ч.т.д.

Пример. Рассмотрим тривиальную решетку В, состоящую из двух элементов _┴ и T с отношение порядка _┴ < T. Диаграммы Хассе для декартовых степеней В² = ВВ и В⁴ = В²В² показаны на рис.5. TT

В² _┴T T_┴

_┴┴

TT

aT Ta Tb b T

В⁴ aa ab _┴T T_┴ ba bb

a_{┴ ┴}a b_{┴ ┴}b

_┴┴

Рис.5

Определение. Пусть А и В – ч.у.м. Функция f : AB называется монотонной, если для любых х, уА.

xy f(x) f(y).

Примеры: 1) В множестве N = {0,1,2,…} зададим порядок:

ху _df х – делитель у.

Функция f(x) = 2x является монотонной:

ху х – делитель у 2х – делитель 2у 2х2у.

Функция g(x) = x+2 не является монотонной: 39, но не верно, что 3+29+1.

Функция h(x,y) = xy, h : N² N, является монотонной:

(x,x’)(y,y’) xy, x’y’ x – делитель y, x’ – делитель y’

xy – делитель x’y’ ху x’y’, т.е. h(x,y)h(x’,y’).

2) Пусть A – произвольное множество и P(A) = {X | XA} – множество всех подмножеств множества А. В P(A) имеется естественный порядок – теоретико-множественное включение.

Функция f (X,Y) = XY, f : P(A)P(A) P(A) монотонна: