Тема к зачёту

(X,Y)(X’,Y’) XX’, YY’ XX’ YY’ f (X,Y) f (X,Y).

Функция f (X,Y) = XY монотонна.

Функция f (X,Y) = X \ Y не монотонна.

2. Пусть А – произвольное ч.у.м. Следующие функции моно-

тонны:

• f (x) = x, f : AA (тождественная функция);

• f (x₁,x₂,…,x_n) = a , f : AⁿA (постоянная функция);

• f (x₁,x₂,…,x_n) = x_i , f : AⁿA (проекция);

• f (x,y) = sup{x,y}, f : A²A ;

• f (x,y) = inf{x,y}, f : A²A.

Утверждение 5. Суперпозиция монотонных функций есть монотонная функция.

Доказательство. Пусть, например, и A, B и C - какие-либо ч.у.м. и

имеем монотонные функции f : A²BA, g : ABA h : BB. Тогда функция s(x,y) = f(x,g(x,y),h(y)) также монотонна:

(x,y)(x’,y’) xx’, yy’ h(y)h(y’), g(x,y)g(x’,y’)

f (x, g(x,y), h(y)) f (x’, g(x’,y’), h(y’)), т.е.

s(x,y)s(x’,y’).

Ч.т.д.

Определение. Пусть f : AA – отображение множества А в себя. Элемент аА называется неподвижной точкой отображения f , если f (a) = a .

Теорема Тарского. Всякое монотонное отображение решетки в себя имеют наименьшую и наибольшую неподвижные точки.

Доказательство. Пусть f : AA монотонное отображения. Положим

В = {xA | f (x)x}.

Благодаря тому, что А – полная решетка, это множество имеет инфимум c = inf B. Имеем:

с = inf B (хB) c x

(монотонность f ) (хB) f (c) f (x)

(хB) f (c) f (x) x (хB) f (с) x

f (с) – нижняя грань для B

f(c) inf B, т.е.

f (с)с (1)

(монотонность f ) f (f (с))f (с)

f (c) B inf B f (c), т.е.

cf (c) . (2)

Из (1) и (2) получаем, что c = inf B – неподвижная точка отображения f : f (c) = c. Покажем, что с – наименьшая неподвижная точка:

x – неподвижная точка f (x) = x xB inf B x

cx.

Двойственным образом, взяв В’ = {xA | f (x) x}, получим, что супремум d = sup B’ является наибольшей неподвижной точкой отображения f.

Ч.т.д.

Определения. Пусть А и В – произвольные полные верхние (нижние) полурешетки. Отображение и f : AB называется непрерывным сверху (снизу) , если для любого множества ХА верно, что f (sup X) = sup f (X) (соответственно, f (inf X) = inf f (X)).

Пусть А и В – произвольные решетки. Отображение и f : AB называется непрерывным, если для любого множества ХА верно, что f (sup X) = sup f (X) и f (inf X) = inf f (X).

Примеры. Пусть А = {xR | 0x1} – отрезок вещественной прямой с концами 0 и 1. Пусть в А задано обычное отношение порядка «», означающее «меньше или равно». Ясно, что А является полной решеткой. Тогда:

(1) всякое непрерывное отображение (в обычном смысле, принятом в математическом анализе) является непрерывным в полной решетке А ;

(2) функция f (x) = 0, если 0 х <1, и f (1) = 1 является монотонной, но не является непрерывной. В самом деле, возьмем, например, множество X = {1–¹/_n | n = 1,2,…}. Тогда имеем sup X =1, f (sup X) = 1, sup f (X) = 0 и поэтому f (sup X) sup f (X).

Утверждение 6. Пусть А и В – полные решетки. Тогда любое непрерывное отображение А в В монотонно.

Доказательство. Имеем для непрерывного отображения f :

xy sup{x,y} = y f (sup{x,y}) = f (y) sup{f (x), f (y)} = f (y)

f (x) f (y).

Таким образом, функция f монотонна. Ч.т.д.

Утверждение 7. Пусть А и В – полные решетки и f : AA – непрерывное отображение. Тогда наименьшей и наибольшей неподвижными точками для f являются:

c = sup{f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…} и d = inf{f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…}.

Доказательство. Имеем:

c = sup{f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…} = sup{{f ⁰(_┴)}{f ⁿ(_┴) | n = 1,2,…}}

= sup{{_┴}{f ⁿ(_┴) | n =1,2,…} = sup{f ⁿ(_┴) | n = 1,2,…};

f (c) = f (sup{f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…})

= (благодаря непрерывности f) sup f ({f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…})

= sup{f ⁿ⁺¹(_┴) | n = 0,1,2,…} = sup{f ⁿ(_┴) | n = 1,2,…} = c.

Следовательно, f (c) = c, т.е. с – неподвижная точка отображения f.

Если х – какая-либо неподвижная точка, то благодаря монотонности f имеем:

_┴ х f (_┴) f (x) = x f (_┴) x f (f (_┴)) = f ²(_┴) f (x) = x

f ²(_┴) x f ³(_┴) x …

Отсюда c = sup{f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…} x. Следовательно, с - наименьшая неподвижная точка.

Двойственным образом доказывается, что d – наибольшая неподвижная точка. Ч.т.д.

Рассматривая еще раз доказательство утверждения 11, можно заметить, что фактически здесь операция супремума применялась к частному виду множеств, а именно, к так называемым цепям.

Цепью в ч.у.м. А называется представленное последовательностью множество Х = {x_n | n = 0,1,2,…} такое, что либо

x₀ х₁ х₂ … х_{n –1} х_n … ,

либо

x₀ х₁ х₂ … х_{n –1} х_n … .

В первом случае говорят, что цепь является неубывающей, во втором случае – невозрастающей.

Ясно, что множество {f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…} является неубывающей цепью, так как по монотонности f из _┴ f(_┴) получаем f (_┴) f ²(_┴) и, значит, имеем _┴ f(_┴) f ²(_┴) f ³(_┴)… f ^n-1(_┴) f ⁿ(_┴)… . Двойственным образом, множество {f ⁿ(T) | n = 0,1,2,…} является невозрастающей цепью.

Определение. Ч.у.м. называется полным по неубывающим (по невозрастающим) цепям, если в нем всякая неубывающая (соответственно, невозрастающая) цепь имеет супремум (соответственно, инфимум). Коротко такие ч.у.м. будем называть -полными (соответственно, -полными).

Определение. Пусть А – -полное (-полное) ч.у.м. Отображение f : AA называется непрерывным снизу (соответственно, сверху), если для любой невозрастающей (соответственно, неубывающей) цепи ХА имеет место соотношение f (sup X) = sup f (X) (соответственно, соотношение f (inf X) = inf f (X) ).

Свойство ч.у.м быть -полным или -полным сохраняется при декартовых произведениях и при образовании множеств функций.

Утверждение 8. Если А и В – -полные (-полные) ч.у.м. Тогда декартово произведение АВ является -полным (соответственно, -полным).

Доказательство. Пусть X – неубывающая цепь в АВ. Очевидно, что проекции X₁ = {xA | (y) (x,y)X} и X₂ = {уA | (х) (x,y)X} являются неубывающими цепями и, значит, имеют супремумы a =sup X₁ и b =sup X₂ . Тогда ясно, что sup X = (a,b).

Ч.т.д.

Теорема Клини. Пусть А – -полное (-полное) ч.у.м., содержащее наименьший элемент _┴ (соответственно, наибольший элемент T) и f : AA – непрерывное снизу (соответственно, сверху) отображение. Тогда отображение f имеет наименьшую неподвижную точку c = sup{f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…} и наибольшую неподвижную точку d = inf{f ⁿ(T) | n = 0,1,2,…}.

Доказательство. Множество {f ⁿ(_┴) | n = 0,1,2,…}, как мы видели, является неубывающей цепью. Двойственным образом, множество {f ⁿ(T) | n = 0,1,2,…}, Поэтому доказательство утверждения 13 устанавливает справедливость теоремы Клини. Ч.т.д.

3. МНОЖЕСТВА ФУНКЦИЙ

3.1. Функции со значениями в ч.у.м.

Для произвольных множеств А и В обозначим через Fun(A,B) множество всех функций, заданных на А и принимающих значения в В. Если В – ч.у.м., то порядок в В следующим образом индуцирует порядок в Fun(A,B):

f g _df (xA) f (x) g(x).

Легко видеть, что Fun(A,B) будет решеткой, если В – решетка. Операции и в Fun(A,B) определяются так :

(fg)(x) = f(x)g(x) и (fg)(x) = f(x) g(x) для всех хА.

В том случае, когда оба А и В – ч.у.м., мы можем рассматривать монотонные функции. Через Fun*(A,B) обозначим множество всех монотонных функций из А в В. Так как Fun*(A,B)Fun(A,B), то в множестве всех монотонных функций определено отношение порядка. Таким образом, множество Fun*(A,B) является ч.у.м.

Ясно, если f и g – монотонные функции, то монотонными также будут и функции fg и fg:

ху f(x)f(у), g(x) g(у)

f(x)g(x) f(у)g(у), f(x)g(x) f(у)g(у)

(fg)(x) (fg)(x), (fg)(x) (fg)(x).

Следовательно, если В – решетка и А – ч.у.м., то Fun*(A,B) также решетка .

Утверждение 9. Если А – произвольное множество, а В является полной решеткой, то Fun(A,B) также является полной решеткой.

Доказательство. Пусть Х – произвольное множество функций, Х Fun(A,B). Покажем, что Х имеет супремум. Для каждого хА рассмотрим множество {f(х) | fX}. Это множество, как подмножество полной решетки В имеет супремум sup{f(х) | fX}. Положим g(x) = sup{f(х) | fX}.

Докажем, что функция g(x) является супремумом множества Х : g = sup X. Если h – произвольная верхняя грань для Х, то

(fX) fh (fX) (xA) f (x)h(x)

(xA) (fX) f (x)h(x)

(xA) sup{f (x) | f X }h(x)

(xA) g (x)h(x) gh

Таким образом, если h – верхняя грань для Х , то gh. C другой стороны, g является верхней гранью для Х, так из определения функции g следует, что f(х)g(x) для всех fХ и всех хА. Значит, h есть наименьшая верхняя грань для Х .