Тема к зачёту

Двойственным образом получаем, что функция h(x) = inf{f(х) | fX} является инфимумом для Х : h = inf X.

Ч.т.д.

Утверждение 10. Если А - ч.у.м. и В является полной решеткой, то Fun*(A,B) также является полной решеткой.

Доказательство. Пусть Х – произвольное множество монотонных функций, ХFun*(A,B). Как подмножество решетки Fun(A,B), множество Х имеет супремум и инфимум. В утверждении 7 мы определили супремум как функцию g(x) = sup{f (x) | fX}. Функция f на самом деле является монотонной:

xy (fX) f (x)f (y) sup{f (x) | fX} sup{ f (y) | fX}

g(x) g(y) .

Ч.т.д.

Утверждение 11. Если В – -полное (-полное) ч.у.м. и А - произвольное множество, то Fun(A,B) является -полным (соответственно,-полным) ч.у.м. То же самое справедливо и для множества монотонных функций Fun*(A,B).

Доказательство. Пусть Х ={f_n | n = 0,1,2,…} – произвольная неубывающая цепь. Тогда для любого xА в ч.у.м. В имеем неубывающую цепь {f_n (х) | n=0,1,2,…}, которая в силу -полноты В имеет супремум sup{f_n (х) | n=0,1,2,…}= g(x). Таким образом, имеем функцию g: AA, которая является супремумом цепи Х ={f_n | n=0,1,2,…}.

В самом деле, g f_n для всех n и

(n) f_nh (n)(х) f_n(x) h(х) (x)(n) f_n(x) h(х)

(x) sup{f_n(x) | n =0,1,2,…} h(х) (x) g(x)h(х)

gh.

Часть утверждения 11, касающаяся -полноты, следует из соображений двойственности.

Ч.т.д.

Утверждение 12. Если В – -полное (-полное) ч.у.м. и А - произвольное ч.у.м., то множество Fun*(A,B) всех монотонных функций является -полным (соответственно,-полным) ч.у.м.

Доказательство. В доказательстве предыдущего утверждения функция g на самом деле монотонна, если f_n – монотонные функции. В самом деле,

x y f_n (x) f_n (y) для всех n N

f_n (x) sup{ f_k (y) | k N} для всех n N

sup{ f_k (x) | k N} sup{ f_k (y) | k N} g(x) g(y).

Ч.т.д.