Лабораторные работы / Сержанов (16 вариант) / Лабораторная работа 4

Национальный исследовательский университет

Московский Энергетический Университет.

Лабораторная работа №4.

Доверительные интервалы и границы.

Студент: Сержанов Н.

Группа: А-13-08.

Преподаватель: Тигетов Д. Г.

Москва, 2011.

Определение 1. Функция наблюдений a₁(x₁,...,x_n) (заметим, что это случайная величина) называется нижней доверительной границей для параметра a с уровнем доверия Р_Д (обычно близким к 1), если при любом значении

P{ a₁(x₁,...,x_n) a}  P_Д

Определение 2. Функция наблюдений a₂(x₁,...,x_n) (случайная величина) называется верхней доверительной границей для параметра с уровнем доверия Р_Д , если при любом значении

P{ a₂(x₁,...,x_n)  a }  P_Д .

Определение 3. Интервал со случайными концами (случайный интервал)

I(x) = ( a₁(x), a₂(x) ) ,

определяемый двумя функциями наблюдений, называется доверительным интервалом для параметра a с уровнем доверия Р_Д , если при любом значении a

P{ I(x) a }  P{ a₁(x₁,...,x_n)  a  a₂(x₁,...,x_n) }  P_Д ,

т.е. вероятность (зависящая от a) накрыть случайным интервалом I(x) истинное значение a - велика: больше или равна Р_Д.

Уровень доверия.

Генерируем k=50 выборок по n=10 наблюдений, нормально распределённых с параметрами: среднее a=10, дисперсия σ²=4.

Создадим таблицу с 50 строками и 10 столбцами. Посчитаем среднее новый 11 столбец.

Определим квантили f_p порядков (1+P_д)/2 (0.95, 0.995, 0.9995) нормального N(0, 1) распределения:

p=0,95 f_p=1,644854

p=0,995 f_p= 2,575829

p=0,9995 f_p= 3,290527

Определим по

,

столбцы a1 и a1 левых и правых концов доверительных интервалов для p=0.95:

Результаты k=50 испытаний доверительного интервала представим графически:

Наблюдаются точки, в которых интервал не содержит истинного значения параметра.

Повторим для двух других значений доверительной вероятности:

p=0.995:

p=0.9995:

При P_д=0.95 среднее число неверных из k=50 результатов: k*(1- P_д)=2.5

При P_д=0,995 появление хотя бы одного неверного: 1-P_д⁵⁰0.22

При P_д=0,9995 появление хотя бы одного неверного: 1-P_д⁵⁰0.02

Задание.

Проведём аналогично k=50 испытаний доверительного интервала (7)-(9) для случая неизвестной дисперсии.

Пусть х₁, … ,х_n - выборка из нормального N(a,²) распределения; значения среднего а и дисперсии ² неизвестны. Оценки для а и ²:

, . (7)

Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р_Д при неизвестной дисперсии является интервал

I(x) = (a₁(х), a₂(х) ), (8)

где , , (9) t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Для p=0.95:

Для p=0.995:

Для p=0.9995:

Интервалы для среднего нормальной совокупности:

Сгенерируем выборку из 20 наблюдений для нормальной случайной величины со средним a=10 и дисперсией σ²=4 и определим доверительные интервалы для a с уровнем доверия P_д: 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99.

Для P_д=0.8:

Для P_д=0.9:

Для P_д=0.95:

Для P_д=0.98:

Для P_д=0.99: