Проверка гипотезы о независимости признаков (таблица сопряженности признаков)

Предположим, имеется большая совокупность объектов, каждый из которых обладает двумя признаками АиВ; признакАимеетmуровней:A₁, ...,A_m, а признакВ-kуровней:B₁, ...,B_k . Пусть уровеньА_iвстречается с вероятностьюP(A_i), а уровеньB_j - c вероятностьюP(B_j). ПризнакиАиВнезависимы, если

P(A_i B_j) = P(A_i)P(B_j), i = 1, ..., m, j = 1, ..., k , (10)

т.е. вероятность встретить комбинацию A_i B_jравна произведению вероятностей. Пусть признаки определены наnобъектах, случайно извлеченных из совокупности;_ij- число объектов, имеющих комбинациюA_i B_j,=n. По совокупности наблюдений {_ij } (таблица m k) требуется проверить гипотезуНо независимости признаковАиВ. Задача сводится к случаю с неизвестными параметрами; ими являются вероятности

P(A_i), i = 1, ..., m; P(B_j), j = 1, ..., k,

всего (m-1) + (k-1); их оценки:

,

(в обозначениях точка означает суммирование по соответствующему индексу), и статистика (6) принимает вид:

. (11)

Если гипотеза Нверна, то по теореме Фишераасимптотически распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы

f = mk - 1 - (m - 1) - (k - 1) = (m - 1)(k - 1),

и потому, если

, (12)

то гипотезу о независимости признаков следует отклонить.

Ясно, что по (11) - (12) можно проверять независимость двух случайных величин, разбив диапазоны их значений на mиkчастей.

Пример 4. Данные , собранные по ряду школ, относительно физических недостатков школьников (P₁,P₂,P₃- признакА) и дефектов речи (S₁,S₂,S₃ - признакВ) приведены в таблице 4. В таблице 5 даны частоты.

Для проверки гипотезы о независимости этих двух признаков вычислим статистику (11): = 32.8843; число степеней свободыf = (3-1)(3-1) = 4; минимальный уровень значимости

Р² ₄ 32.8843≤ 0.001

это значит, что при независимых признаках вероятность получить значение такое же, как в опыте или большее, меньше 0.001, и потому гипотезу о независимости следует отклонить.

Выполнение в пакете STATISTICA

Analysis - Tables and banners- в окнеSpecify Table, вполе Analysis: Crosstabulation tables- кнопкаSpecify Table- отбираем признаки:list 1: P, list 2:S - OK- OK- в окнеCrosstabulation Tables Results(результаты таблиц сопряженности) отмечаем (потребуем определить)Expected frequencies(ожидаемые или теоретические частоты) иPearson Chi-Square - Review Summary tables.

Таблица 4.

Дефекты речи (S) и физические недостатки (P) 217 школьников

P

S

P

S

P

S

P

S

P

S

P

S

P

S

P

S

P

S

1

P1

S1

P1

S1

P3

S2

P2

S2

P1

S3

P1

S1

P1

S1

P2

S1

P3

S3

2

P2

S3

P2

S2

P1

S3

P1

S1

P2

S2

P2

S1

P2

S2

P3

S3

P1

S1

3

P1

S1

P2

S3

P1

S2

P1

S1

P2

S2

P2

S2

P1

S3

P3

S2

P2

S3

4

P1

S2

P2

S3

P3

S1

P2

S1

P2

S2

P3

S3

P1

S1

P2

S1

P1

S3

5

P1

S1

P2

S1

P2

S1

P1

S1

P1

S1

P2

S1

P2

S2

P2

S3

P2

S2

6

P3

S1

P1

S2

P3

S3

P2

S2

P1

S3

P1

S1

P2

S3

P1

S1

P2

S1

7

P1

S1

P2

S3

P1

S2

P2

S2

P2

S1

P1

S2

P1

S3

P2

S3

P1

S1

8

P1

S2

P1

S1

P2

S3

P1

S2

P2

S2

P1

S3

P2

S2

P2

S2

P3

S3

9

P2

S2

P2

S1

P1

S2

P1

S1

P2

S2

P2

S3

P2

S3

P1

S2

P2

S1

10

P2

S2

P2

S1

P2

S2

P1

S3

P3

S3

P1

S1

P1

S3

P2

S2

P2

S2

11

P2

S2

P2

S1

P1

S2

P1

S2

P2

S1

P1

S1

P1

S3

P1

S2

P1

S1

12

P1

S2

P2

S2

P1

S2

P2

S2

P1

S1

P1

S1

P1

S1

P2

S3

P2

S1

13

P1

S1

P3

S3

P2

S2

P2

S2

P2

S2

P2

S1

P2

S3

P2

S2

P2

S2

14

P2

S3

P1

S1

P2

S3

P2

S1

P2

S1

P1

S2

P2

S1

P1

S2

P3

S3

15

P2

S1

P1

S1

P3

S2

P2

S2

P1

S1

P2

S2

P3

S2

P2

S2

P1

S2

16

P2

S1

P2

S1

P1

S2

P2

S1

P2

S2

P3

S3

P2

S2

P2

S3

P3

S3

17

P3

S2

P1

S1

P2

S2

P3

S3

P1

S1

P2

S1

P2

S2

P1

S1

P1

S2

18

P1

S1

P2

S2

P1

S1

P3

S2

P3

S3

P2

S2

P1

S2

P1

S2

19

P1

S2

P3

S3

P2

S1

P1

S1

P1

S1

P2

S2

P1

S1

P1

S1

20

P3

S3

P3

S3

P1

S1

P1

S1

P3

S2

P1

S1

P1

S1

P2

S1

21

P2

S2

P2

S1

P2

S3

P3

S2

P2

S2

P1

S2

P2

S1

P2

S2

22

P1

S3

P1

S1

P2

S2

P2

S2

P3

S1

P2

S2

P2

S3

P1

S1

23

P2

S3

P2

S2

P3

S3

P3

S3

P1

S1

P2

S1

P1

S1

P2

S1

24

P3

S2

P2

S2

P2

S3

P1

S3

P2

S2

P3

S2

P2

S2

P1

S2

25

P3

S1

P2

S3

P2

S1

P1

S2

P2

S2

P1

S2

P2

S1

P2

S2

Наблюдаем две таблицы: таблицу частот Summary Frequency Table и Expected Frequencies; в верхней части последней указано значение статистики (11) (Chi-square), число степеней свободыdfи уровень значимостир(вероятность в (12)). Поскольку значениермало, гипотеза о независимости речевых дефектов и физических отклоняется.