Лабораторная работа N3

1. Оценки

Студент: Машеров Д.

Группа А-13-08

Преподаватель: Тигетов Д.Г.

1. Оценивание по выборкам объема n = 10

Сформируем k =20 выборок объема n =10 и определим значения оценок a1, a2, a3 на каждой выборке.

Определение значений оценок â₁, â₂ и â₃ на 20 выборках..

Определим статистики, по которым вычисляются оценки:

оценку, полученную методом моментов,

â₁ = , (1)

оценку, полученную методом максимального правдоподобия (после исправления смещённости),

â₂ = max x_i (2)

и оценку, полученную методом порядковых статистик,

â₃ = 2 _0.5 = x_(k) + x_(k+1), (3)

характеристики разброса для оценок:

Сравнение размахов w и стандартных отклонений S_а для 3 оценок показывает, что оценка â₂(х₁, ... , х_n) наиболее точна, а оценка â₃(х₁, ... , х_n) - наименее.

Размахи:

Для оценки методом моментов

w=14.343-6.298=8.045

Для оценки максимального правдоподобия

w=10.989-8.979=2.01

Для медианной оценки

w=15.701-5.705=9.996

Сравнение оценок â₂ и â₃ графически:

Из графика (рис.1) видно, что значения оценок находятся в окрестности 10, и что оценка â₂ имеет разброс меньше, чем â₃ .

Оценивание по выборкам объемаn n=10 n=40 и n=160

		â1	â2	â3
	amin	6,298105	7,564074	2,8605
n = 10	amax	14,34327	10,99496	17,06107
	w	8,045167	3,430891	14,20057
	Sa	2,113219	0,94795	3,558044
	amin	7,464476	8,97747	6,865139
n = 40	amax	10,98534	10,24187	11,27171
	w	3,520859	1,264397	4,406568
	Sa	1,087514	0,398477	1,627109
	amin	8,71057	9,882851	8,363598
n = 160	amax	10,01448	10,06035	10,23469
	w	1,303907	0,177499	1,87109
	sa	0,418275	0,064686	0,600302

Итоговое сравнение

Сравнение S_a(n) трех оценок графически для значений n =10, 40, 160:

Sa1, Sa2, Sa3: значения стандартного отклонения для трех оценок.

Наблюдаем три кривые S_a(n), как функции n (рис. 2); ясно, что оценка â₂ наиболее точна, â₃ - наименее.

Приведенные результаты экспериментального сравнения 3 способов обработки наблюдений показывают следующее.

1. Значения оценок концентрируются в окрестности оцениваемого параметра (проявление свойства несмещенности оценок).

2. С ростом числа наблюдений точность (величина разброса) оценок улучшается (проявление свойства состоятельности).

3. Различные оценки различаются по величине средней ошибки, откуда ясно, что различные способы обработки наблюдений нужно сравнивать по величине среднего значения некоторого критерия качества, например, среднего значения квадрата ошибки.

2. Оценка среднего нормального распределения.

Сделаем выборку с параметрами m = 10,

Таблица сравнения

â₁ – Оценка максимального правдоподобия

â₂ – Медианная Оценка

	Методом максимального правдоподобия		Медианная
	amin	9,353283		8,911087
n = 10	amax	11,04093		10,66446
	w	1,687646		1,753377
	Sa	0,553951		0,667973
	amin	9,641856		9,187885
n = 40	amax	10,47977		10,47743
	w	0,837915		1,289541
	sa	0,281765		0,356883
	amin	9,616456		9,53359
n = 160	amax	10,12895		10,14295
	w	0,51249		0,609355
	sa	0,169548		0,203636

3. Оценка параметра показательного распределения.

Сделаем выборку с параметром a = 3

	Методом максимального правдоподобия		Медианная
	amin	1,708261		1,081752
n = 10	amax	5,629195		4,693466
	w	3,920934		3,611713
	Sa	1,145577		1,133907
	amin	2,44271		2,186535
n = 40	amax	3,365482		4,327623
	w	0,922771		2,141089
	sa	0,320602		0,645363
	amin	2.457		2.444
n = 160	amax	3.337		3.644
	w	0,88		1.2
	sa	0,259		0,358