Лабораторные работы / Апухтин (2 вариант) / Лабораторная работа 3

Национальный исследовательский университет

Московский Энергетический Институт

Лабораторная работа № 3.

Оценки.

Вариант №2

Выполнил студент группы

А-13-08

Апухтин М.А.

Статистическая задача: по наблюдениям x₁,…,x_n над случайной величиной X, распределённой равномерно на отрезке [0, a], оценить неизвестный параметр a.

Оценка, полученная методом моментов:

Оценка, полученная методом максимального правдоподобия:

Оценка, полученная методом порядковых статистик:

,

где – выборочная квантиль порядка 0,5, т.е. выборочная медиана;

x_(k) – член вариационного ряда с номером k

Определим дисперсии оценок:

Сформируем k=20 выборок из распределения R[0, a=10] объёма n=10:

Значения 3 оценок на 20 выборках:

Характеристики разброса для оценок.

Характеристиками разброса значений a₁,…,a_k оценки будем считать размах

и среднеквадратичное отклонение (СКО)

Значения стандартного отклонения, min и max для 3 оценок:

Рассчитаем размах для всех трех оценок:

W1=13,140-5,564=7,576

W2=10,993-7,907=3,086

W3=14,388-4,277=10.111

Сравнение размахов w и стандартных отклонений S_а для 3 оценок показывает, что оценка â₂(х₁, ... , х_n) наиболее точна, а оценка â₃(х₁, ... , х_n) - наименее.

Сравнение оценок и графически.

Из графика видно, что значения оценок находятся в окрестности 10, и что оценка имеет разброс меньше, чем .

Повторим то же для n=40 и n=160 и сведем все данные в одну таблицу:

n=10		5,564	7,907	4,277
		13,140	10,993	14,388
		7,576	3,086	10,111
		1,949	0,971	2,832
n=40		8,074	9,347	7,800
		11,262	10,229	11,911
		3,188	0,882	4,111
		0,798	0,235	1,113
n=160		9,302	9,882	9,651
		11,139	10,059	11,684
		1,837	0,177	2,033
		0,453	0,052	0,613

Сравнение размахов w и стандартных отклонений S_а для 3 оценок показывает, что оценка â₂(х₁, ... , х_n) наиболее точна, а оценка â₃(х₁, ... , х_n) - наименее.

Сравнение оценок и графически.

n=40:

n=160

Из графиков видно, что значения оценок находятся в окрестности 10, и что оценка имеет разброс меньше, чем .

Итоговое сравнение

Сравнение S_a(n) трех оценок графически для значений n =10, 40, 160.

Наблюдаем три кривые S_a(n), как функции n; ясно, что оценка â₂ наиболее точна, â₃ - наименее.

Задание для самостоятельной работы

Сравнить статистически на выборках объема n=10 две оценки: оценку максимального правдоподобия и медианную оценку

1. среднего нормального распределения

Оценка, полученная методом максимального правдоподобия:

Дисперсия:

Оценка, полученная методом порядковых статистик:

где – выборочная квантиль порядка 0,5, т.е. выборочная медиана;

x_(k) – член вариационного ряда с номером k

Дисперсия:

Сформируем k=20 выборок из распределения N[μ=0, σ²=1] объёма n=10:

n=10		-0,470	-0,688
		0,714	0,972
		1,184	1,66
		0,326	0,455

Сравнение размахов w и стандартных отклонений для 2 оценок показывает, что оценка (х₁, ... , х_n) более точна, а оценка (х₁, ... , х_n) - менее.

Сравнение оценок и графически.

Из графиков видно, что значения оценок находятся в окрестности 0, и что оценка имеет разброс меньше, чем .

2. параметра показательного распределения.

Оценка, полученная методом максимального правдоподобия:

Дисперсия:

Оценка, полученная методом порядковых статистик:

где – выборочная квантиль порядка 0,5, т.е. выборочная медиана;

x_(k) – член вариационного ряда с номером k

Дисперсия:

Сформируем k=20 выборок из распределения Exp[] объёма n=10:

n=10		3,122	2,892
		8,111	16,244
		4,989	13,352
		1,236	3,277

Сравнение размахов w и стандартных отклонений для 2 оценок показывает, что оценка (х₁, ... , х_n) более точна, а оценка (х₁, ... , х_n) - менее.

Сравнение оценок и графически.

Из графиков видно, что значения оценок находятся в окрестности 5, и что оценка имеет разброс меньше, чем .

Задача

Количество производственных травм за время T является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром . Поквартальные данные за k=5 лет оказались x₁,x₂,…,x₂₀. Если за год число травм оказывается равным N=40 и более, завод подвергается штрафу и проверке. Оценить вероятность этого события в следующем году. Поквартальные данные получить моделированием; среднее значение принять m=8.

Решение:

Получим оценку для :

Получаем: