Лабораторные работы / Апухтин (2 вариант) / Лабораторная работа 4
.docxНациональный исследовательский университет
Московский Энергетический Институт
Лабораторная работа № 4.
Доверительные границы и интервалы.
Вариант №2
Выполнил студент группы
А-13-08
Апухтин М.А.
Доверительный интервал с уровнем доверия РД для среднего a нормальной совокупности при известной дисперсии .
Пусть x, ... , xn - выборка из нормальной N(a, ) совокупности. Достаточной оценкой для а является
â = â(x,...,xn) = ,
распределенная по закону N(a, ) ; пронормируем её, образовав случайную величину
, (2)
которая распределена нормально N(0,1) при любом значении а.
По заданному уровню доверия РД определим для отрезок -fp, fp так, чтобы
, (3)
т.е. fp - квантиль порядка (1+ РД )/2 распределения N(0,1); заметим, что зависит от а , но (3) верно при любом значении а. Подставим в (3) выражение для из (2) и разрешим неравенство под знаком вероятности в (3) относительно а ; получим соотношение
, (4)
верное при любом значении а. под знаком вероятности две функции наблюдений
, ( 5)
определяют случайный интервал
I( x1, ... , xn) =(a1( x1, ... , xn), a2( x1, ... , xn)), (5a)
который в силу (4) обладает тем свойством , что накрывает неизвестное значение параметра а с большой вероятностью РД при любом значении а, и потому, по определению доверительно интервала, он является доверительным с уровнем доверия РД .
рассмотрим приведенный в (5) случайный интервал I(x1, ..., xn), который при любом значении а накрывает это значение с большой вероятностью РД:
Р{ I(x1,...,xn) a } = РД ,
и потому, если пренебречь возможностью осуществления события aI, имеющего малую вероятность (1-РД), можно считать событие aI(x1,...,xn) практически достоверным, т.е. можно верить тому, что вычисленный по конкретным наблюдениям x1,...,xn интервал I содержит неизвестное значение параметра а.
Испытаем интервал (5) на 50 выборках объема n=10 для трех уровней доверия РД : 0.9 , 0.99 , 0.999 (соответственно, три значения fp) .
При РД = 0.9 число неверных из k =50 результатов окажется в окрестности 5, так как среднее число неверных
k(1- РД) = 5;
при РД =0.99 появление хотя бы одного неверного из k =50 весьма вероятно: вероятность этого события
1- РДk=1-0.9950 0.61;
при РД =0.999 появление хотя бы одного неверного весьма сомнительно: вероятность этого события
1- РДk=1-0.99950 0.05.
Задание.
1. Определить, сколько раз из k =50 доверительный интервал оказался неверным; это сделаем для трех значений РД . Графики для РД =0.9 и РД =0.99 распечатать. Выполнение в пакетах см. в пп. 2 - 4.
2. Провести аналогично 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии.
Выполнение:
Генерируем k = 50 выборок по n = 10 наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее а = 10, дисперсия 2 = 4.
Определим квантили fp порядков (1 + РД)/2 (0.95, 0.995, 0.9995) нормального N (0, 1) распределения:
РД |
квантили fp |
0.95 |
1.645 |
0.995 |
2.57 |
0.9995 |
3.29 |
Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически:
РД =0.9
Для 9,27 и 47 выборки интервал не содержит истинного значения параметра.
РД =0.99
Для 47 выборки интервал не содержит истинного значения параметра.
Случай с неизвестной дисперсией:
Пусть х1, … ,хn - выборка из нормального N(a,2) распределения; значения среднего а и дисперсии 2 неизвестны. Оценки для а и 2:
, . (7)
Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия РД при неизвестной дисперсии является интервал
I(x) = (a1(х), a2(х) ), (8)
где , , (9) tp - квантиль порядка (1+ РД)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Определим квантили fp порядков (1 + РД)/2 (0.95, 0.995, 0.9995) распределения Стьюдента с n-1 (9) степенями свободы
РД |
квантили fp |
0.95 |
1.83 |
0.995 |
3.25 |
0.9995 |
4.78 |
РД =0.95
4 интервала не содержат значения параметра
РД =0.995
Все интервалы содержат значение параметра.
Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a =10, 2=22=4 и определим доверительные интервалы для a и с уровнем доверия РД : 0.8 , 0.9 , 0.95 , 0.98 , 0.99 , 0.995 , 0.998 , 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом РД интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.
Задание: определить верхние доверительные границы для а и с уровнем доверия РД = 0.95 .
Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами, однако, значения порогов t изменяются. Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия РД является значение
,
где tp - квантиль порядка РД распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для с уровнем доверия РД является
,
где t2 - квантиль порядка 1- РД распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.
Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a =10, 2=22=4
Квантиль порядка 0,95 распределения Стьюдента с 9 степенями свободы = 1,83.
Квантиль порядка 1- РД = 0,05 распределения хи-квадрат с 9 степенями свободы = 3,33.
Задача 2.
Изготовлена большая партия из N=10000 приборов. Известно, что время безотказной работы случайно и распределено по показательному закону с плотностью
, x 0
С целью определения значения параметра а этой партии были поставлены на испытания n=25 приборов; времена безотказной работы оказались равными х1,…,хn. Методом моментов построить оценку для а и доверительный интервал с уровнем доверия РД=0,99 . Кроме того, построить доверительный интервал для числа М приборов, имеющих время безотказной работы менее 50 часов.
измерения получить моделированием с заданным параметром а=400.
Решение:
Построим оценку:
Построим доверительный интервал:
Рассмотрим
Данное распределение совпадает с распределением хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Ia = (, ),
где t1=Q(2n, (1-РД)/2), t2=Q(2n, (1+РД)/2) - квантили распределения хи-квадрат с 2n степенями свободы.
Построим доверительный интервал для числа М приборов, имеющих время безотказной работы менее 50 часов.
IM = ( N(1- exp(-)), N(1- exp(-)) )
t1=27,99 ;t2=79,49