Решение

1. Данная задача является сбалансированной. При определении начального плана перeвозок методом северо-западного угла внутренние клетки таблицы 4 примут значения:

Таблица 4

Базы	Заказчики			Запасы на базах
	В1	В2	В3
А1	4 20	3 2	1 –	22
А2	2 –	5 13	3 –	13
А3	6 –	4 –	2 10	10
Потребности заказчика	20	15	10	45 45

2. Оптимальность полученного плана исследуется методом потенциалов. Уравнения потенциалов, составленные для базисных клеток таблицы 4, имеют вид:

α ₁ + β₁ = 4,

α₁ + β₂ = 3,

α₂ + β₂ = 5.

α₃ + β₃ = 2.

В четырёх уравнениях оказалось 6 неизвестных. Число неизвестных превышает число уравнений больше чем на 1. В этом случае циклы пересчёта можно построить не для всех свободных клеток данной таблицы. Так, в таблице 4 для клеток (1;3), (2;3), (3;1), (3;2) циклы пересчёта построить нельзя. Тогда в одной из этих клеток (например, в клетке (2;3)) записывается базисная переменная с нулевым значением количества перевозимого груза. Дополненная таким образом таблица 4 принимает вид

Таблица 4

Базы	Заказчики			Запасы на базах
	В1	В2	В3
А1	4 20	3 2	1 –	22
А2	2 –	5 13	3 0	13
А3	6 –	4 –	2 10	10
Потребности заказчика	20	15	10	45 45

Теперь из системы пяти уравнений, составленных для базисных клеток таблицы 4

α ₁ + β₁ = 4,

α₁ + β₂ = 3,

α₂ + β₂ = 5,

α₂ + β₃ = 3,

α₃ + β₃ = 2

находятся значения 6-ти неизвестных

α₁ = 0, β₁ = 4,

α₂ = 2, β₂ = 3,

α₃ = 5, β₃ = 1,

при условии, что α₁= 0, и алгебраические суммы тарифов для свободных клеток таблицы 4' имеют значения:

s₁₃ = c₁₃ – c'₁₃ = c₁₃ – (α₁ + β₃) = 1 – 1 = 0,

s₂₁ = c₂₁ – c'₂₁ = c₂₁ – (α₂ + β₁) = 2 – 6 = – 4,

s₃₁ = c₃₁ – c'₃₁ = c₃₁ – (α₃ + β₁) = 6 – 5 = 1,

s₃₂ = c₃₂ – c'₃₂ = c₃₂ – (α₃ + β₂) = 4 – 4 = 0,

Вычисления показывают, что первоначальный план перевозок можно улучшить, производя цикл пересчёта со свободной клеткой (2; 1):

Улучшенный план перевозок представлен в таблице 5.

Исследуем его на оптимальность:

α ₁ + β₁ = 4,

α₁ + β₂ = 3,

α₂ + β₁ = 2,

α₂ + β₃ = 3,

α₃ + β₃ = 2;

α₁ = 0, β₁ = 4,

α₂ = –2, β₂ = 3,

α₃ = –3, β₃ = 5.

Таблица 5

Базы	Заказчики			Запасы на базах
	В1	В2	В3
А1	4 7	3 15	1 –	22
А2	2 13	5 –	3 0	13
А3	6 –	4 –	2 10	10
Потребности заказчика	20	15	10	45 45

s₁₃ = c₁₃ - c'₁₃ = c₁₃ – (α₁ + β₃) = 1 – 5 = – 4,

s₂₁ = c₂₁ - c'₂₁ = c₂₁ – (α₂ + β₂) = 5 – 1 = 4,

s₃₁ = c₃₁ - c'₃₁ = c₃₁ – (α₃ + β₁) = 6 – 1 = 5,

s₃₂ = c₃₂ - c'₃₂ = c₃₂ – (α₃ + β₂) = 4 – 0 = 4,

План перевозок, представленный таблицей 5, оптимален, так как, в единст-венном цикле пересчёта, который может дать уменьшение стоимости перевозок, количество перевозимого груза равно нулю.

Ответ: Стоимость перевозок принимает наименьшее значение

F_опт.= = 4·7 + 3·15 + 2·13 + 2·10 = 129 (т.руб.),

если потребность заказчика В₁ удовлетворяется 7т. груза с базы А₁ и 13т. груза с базы А₂; потребность заказчика В₂ полностью удовлетворяется 15т. груза с базы А₁, а потребность заказчика В₃ полностью удовлетворяется 10т. груза с базы А₃. При этом стоимость перевозок по сравнению с первоначальным планом F_нач.= = 4·20 + 3·2 + 5·13 + 2·10 = 171 (т.руб.) уменьшится на 42 т.руб.

Пример №3

Развести однородный груз, находящийся на базе А₁ в количестве 25 ед., на базе А₂ в количестве 45 ед. и на базе А₃ в количестве 20 ед. по двум заказчикам в пункты В₁ и В₂. Заказчик в пункте В₁ может принять не более 40 ед. груза, заказчик в пункте В₂ – не более 30 ед. В угловых скобках таблицы 6 даны условные стоимости перевозки одной единицы груза между базами и заказчи-ками. Стоимость перевозок должна быть наименьшей.

Таблица 6

Базы	Заказчики		Запасы на базах
	В1	В2
А 1	1	2	25
А 2	4	8	45
А 3	5	3	20
П 70 отребности заказчиков	40	30	90