2. Формирование опорного решения (опорного плана перевозок) методом северо-западного угла

При формировании опорного плана методом северо-западного угла, заполняется левая верхняя клетка (северо-западный угол) исходной таблицы или её оставшейся части. После заполнения северо-западного угла с учетом предельных возможностей базы, лежащей с заполняемой клеткой в одной строке, из таблицы исключается или очередной столбец слева, или очередная строка сверху. Так в данной таблице потребность заказчика В₁ может быть полностью удовлетворена базой А₁ (а₁ = 300; в₁ = 170; а₁ > в₁). Полагая х₁₁=170, вписываем это значение в клетку (1;1) и исключаем из рассмотрения первый столбец.

На базе А₁ остается 130 т. груза ( ). В новой таблице с тремя строками А₁, А₂, А₃ и тремя столбцами В₂, В₃, В₄ северо-западным углом оказывается клетка (1;2). Первая база с оставшимися 130 т. груза может полностью удовлетворить потребность второго заказчика В₂ ( > в₂). Полагая х₁₂ = 110, вписываем это значение в клет-ку (1; 2) и исключаем из рассмотрения второй столбец. На базе А₁ остается 20 т. груза ( ).

В новой таблице с тремя строками А₁, А₂, А₃ и двумя столбцами В₃, В₄ северо-западный угол соответствует клетке (1;3). Теперь третий заказчик

В₃ может принять весь запас с базы А₁ ( < в₃ ). Полагая

х₁₃ = 20, вписываем это значение в клетку (1;3) и исключаем из рассмотрения первую строку. Но потребность заказчика В₃ оказалась не удовлетворенной ( ). Эту потребность может удовлетворить база А₂. После чего в ней останется (т. груза). Записывая в клетку (2;3) х₂₃ = 80 мы полностью удовлетворяем потребность заказчика В₃ и вычеркиваем третий столбец. Теперь на северо-западе находится клетка (2;4) и потребность заказчика В₄ будет частично удовлетворяться остатками груза с базы А₂. Таким образом,

х₂₄ = 70, что приводит к исключению второй строки в таблице 1. А не вполне удовлетворенная потребность заказчика В₄ ( ) удовлетворяется запасами груза с базы А₃. При этом х₃₄ = 50.

Опорный план составлен. Ошибки в его составлении можно обнаружить, если найти суммы указанных значений х_іj по строкам и сравнивать их на равно с запасами груза на базах. Суммы х_іj по столбцам сравниваются на равно с потребностями заказчиков.

3. Циклы пересчета в таблице перевозок

При решении транспортной задачи для перехода от одного решения к другому, уменьшающему стоимость перевозок, используются циклы пересчета.

Циклом пересчета в таблице перевозок называется последовательность переменных х_іj, удовлетворяющих следующим условиям:

1) в каждый цикл может входить только одно свободное переменное (пустая клетка – клетка с прочерком). Все остальные переменные должны быть базисными (заполненные клетки);

2) каждые две последовательные переменные, входящие в цикл, могут находиться только на одной строке или только в одном столбце;

3) каждая строка или столбец данного цикла может содержать только две переменные;

4) каждый цикл замкнут. То есть, при последовательном обходе выбранных переменных цикл начинается и заканчивается одной и той же клеткой.

Если для свободной клетки исходной таблицы, заполненной методом северо-западного угла, можно построить цикл пересчета, то такой цикл является единственным. Число вершин в этом цикле чётно. Если же для какой-либо свободной клетки исходной таблицы цикл пересчета построить нельзя, то для реализации этой возможности некоторые из свободных переменных обращаются в базисные переменные с нулевыми значениями (в пустых клетках записываются нули. См. пример № 2). Решение, содержащее нулевые значения базисных переменных, называется вырожденным.

Укажем циклы пересчета для всех свободных клеток таблицы 1 и пере-распределение груза в них по следующим правилам:

а) снабдим свободную клетку знаком (+) и с каждым переходом к следую-щей клетке цикла будем изменять знак на противоположный;

б) в клетках, отмеченных знаком () выберем наименьшее из чисел. Это то количество груза, которое будет последовательно перевозиться из одной клетки в другую. Из клеток, отмеченных знаком (), зафиксированное количество груза вывозится; в клетках со знаком (+) – прибывает.

Циклы пересчета в примере №1:

1 )

F = 70·170 + 50·110 + 80·20 + 40·100 + 60·50 + 11·50 = 26 550 (т.км.);

2)

F = 70 · 90 + 50 · 110 + 15 · 100 + 80 · 80 + 60 · 70 + 11 · 50= 24 450 (т.км.);

3 )

F = 70 · 170 + 50 ·30 + 15 ·100 + 80 · 90 + 60 · 70 + 11 · 50 = 26 850 (т.км.);

4 )

F = 70 ·120 + 50 ·110 + 15 ·70 + 40 ·30 + 60 ·120 + 50 · 50 = 25 850 (т.км.);

5 )

F = 70 · 170 + 50 · 60 + 15 · 70 + 40 ·30 + 60 ·120 + 10 · 50 = 24 850 (т.км.);

6)

F = 70 ·170 + 50 ·110 + 15 · 20 + 40 · 30 + 60 ·120 + 90 ·50 = 30 600 (т.км.);

Следует сравнить стоимость перевозок в каждом цикле со стоимостью перевозок по опорному (первоначальному) плану

F_нач = 70·170 + 50·110 + 15·20 + 40·80 + 60·70 + 11·50 = 25650 (т.км.)

и выбрать наименьший из всех результатов – результат (2), который представ-лен в таблице 2.

Таблица 2

Базы	Заказчики				Запасы на базах
	В1	В2	В3	В4
А1	70 90	50 110	15 100	80 ―	300 т.
А2	80 80	90 ―	40 ―	60 70	150 т.
А3	50 ―	10 ―	90 ―	11 50	50 т.
Потребности заказчика	170 т.	110 т.	100 т.	120 т.	500 т. 500 т.

Примечание. Если минимальное значение среди базисных переменных содержится в цикле пересчета в нескольких отрицательных вершинах цикла, то свободной (с прочерком) оставляют только одну из них, а в других клетках с таким же минимальным значением записываются нули. Эти нули являются новыми значениями базисных переменных. Образуется вырожденное решение.