Транспортная задача Постановка задачи и её решение

Транспортная задача это задача минимизации стоимости перевозок однородного груза из различных баз различным заказчикам.

Пример № 1

На трех базах находится однородный груз. На базе А₁ в количестве 300 т., на базе А₂ в количестве 150 т., на базе А₃ в количестве 50 т. Весь этот груз необходимо развести четырем заказчикам так, чтобы стоимость перевозок была наименьшей. Заказчику в пункте В₁ должно поступить 170 т., в пункте В₂ – 110 т., в пункте В₃ – 100 т., в пункте В₄ – 120 т. Расстояния между базами и пунктами назначения приведены в таблице 1 в угловых скобках.

Таблица 1

Базы	Заказчики				Запасы на базах
	В1	В2	В3	В4
А1	70 170	50 110	15 20	80 —	300 т.
А2	80 —	90 —	40 80	60 70	150 т.
А3	50 —	10 —	90 —	11 50	50 т.
Потребности заказчика	170 т.	110 т.	100 т.	120 т.	500 т. 500 т.

Решение

1. Описание транспортной задачи как задачи линейного программирования

Пусть из i-ой базы (i = ) j-му заказчику (j = ) доставлено х_ij тонн груза. От j-го заказчика i-я база находится на известном расстоянии с_ij (км), указанном в таблице 1 в угловой скобке. В этом случае х_іjс_іj есть количество тонно-километров необходимое для такой перевозки. Рассматривая в произведениях х_іjс_іj всевозможные комбинации значений индексов i и j, получим для каждой такой комбинации свое значение тонно-километров. Из суммы этих произведений образуется общая стоимость перевозок F, выраженная в тонно-километрах

. (1)

Требуется найти такой план перевозок (х₁₁, х₁₂,…, х₃₄), который минимизирует его стоимость. Этот план перевозок называется оптимальным.

Если суммарный объем груза, содержащийся на базах, равен суммарной потребности заказчиков, то есть, при вывозе всего груза, имеющегося на базах, потребности всех заказчиков будут полностью удовлетворены, то транспортная задача называется закрытой или сбалансированной. Именно такая задача рассматривается в примере №1.

Покажем, что транспортная задача есть частный случай задачи линейного программирования. Действительно, целевая функция F в ней это линейная функция вида (1) относительно определяемых переменных х_іj. Линейной является и система ограничений, на которой требуется найти минимум функции F. Так в примере №1 система ограничений представлена уравнениями

х ₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ = 300,

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ = 150,

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ + х₃₄ = 50,

х₁₁ + х₂₁ + х₃₁ = 170,

х₁₂ + х₂₂ + х₃₂ = 110,

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = 100,

х₁₄ + х₂₄+ х₃₄ = 120.

Особенность системы ограничений в транспортных задачах состоит в том, что коэффициенты при неизвестных во всех уравнениях системы ограничений равны 1. Эта особенность позволяет предположить метод решения транспорт- ной задачи, отличный от симплекс-метода.

Примечание. Часто с_ij означают не расстояния между базами и заказчиками, а стои-мость перевозки одной тонны груза между ними. Очевидно, что эта стоимость пропорциональна расстоянию. Поэтому, если х_іj – количество тонн груза, перевозимого из i-ой базы j-му заказчику, то функция (1) означает в этом случае стоимость всех перевозок, выраженную не в тонно-километрах, а в рублях.