2. Уровень доверия

Уровень доверия Р_Д означает, чтоправило определенияинтервала дает верный результатс вероятностью Р_Д,которая обычно выбирается близкой к 1, однако, 1 не равно.Убедимся статистически на примере в том, что доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д может не содержать (с малой вероятностью1- Р_Д ) истинное значение параметра.

Пример.рассмотрим приведенный в (5) случайный интервалI(x₁, ..., x_n), который при любом значениианакрывает это значение с большой вероятностьюР_Д:

Р{ I(x₁,...,x_n) a } = Р_Д ,

и потому, если пренебречьвозможностью осуществления событияaI,имеющего малую вероятность (1-Р_Д),можно считать событиеaI(x₁,...,x_n) практически достоверным, т.е.можно веритьтому, что вычисленный по конкретным наблюдениямx₁,...,x_nинтервалI содержит неизвестное значение параметраа.

Испытаем интервал (5) на 50 выборках объема n=10для трех уровней доверияР_Д : 0.9 , 0.99 , 0.999 (соответственно, три значения f_p).

При Р_Д = 0.9число неверных изk =50результатов окажется в окрестности 5, так как среднее число неверных

k(1- Р_Д) = 5;

при Р_Д =0.99появление хотя бы одного неверного изk =50 весьма вероятно: вероятность этого события

1- Р_Д^k=1-0.99⁵⁰  0.61;

при Р_Д =0.999появление хотя бы одного неверного весьма сомнительно: вероятность этого события

1- Р_Д^k=1-0.999⁵⁰  0.05.

Задание.

1. Определить, сколько раз из k =50доверительный интервал оказался неверным;.это сделаем для трех значенийР_Д.Графики для Р_Д =0.9иР_Д =0.99распечатать. Выполнение в пакетах см. в пп. 2 - 4.

2. Провести аналогично 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии.

3. Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть х₁, … ,х_n - выборка из нормального N(a,²)распределения; значения среднегоаи дисперсии²неизвестны. Оценки дляаи²:

, . (7)

Как известно, доверительным интервалом для среднего ас уровнем доверия Р_Дпри неизвестной дисперсии является интервал

I(x) = (a₁(х), a₂(х) ), (8)

где , , (9) t_p - квантиль порядка (1+Р_Д)/2 распределения Стьюдента сn-1 степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения с уровнем доверияР_Д является интервал

I (x)=(₁(х), ₂(х)) , (10)

где ,, (11)

t₁ и t₂- квантили порядков соответственно (1+Р_Д)/2и (1- Р_Д)/2распределения хи-квадрат сn-1 степенями свободы.

Сгенерируем выборку объема n=20из нормального распределения с параметрамиa =10, ²=2²=4 и определим доверительные интервалы для a и с уровнем доверияР_Д: 0.8 , 0.9 , 0.95 , 0.98 , 0.99 , 0.995 , 0.998 , 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростомР_Динтервал расширяется, с ростомn - уменьшается.

Выполнение см. в пп. 2 - 4.

Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (9) è (11), однако, значения порогов t изменяются. Например, нижней доверительной границей дляa с уровнем доверияР_Дявляется значение

,

где t_p - квантиль порядкаР_Драспределения Стьюдента сn-1 степенями свободы, а верхней границей дляс уровнем доверияР_Дявляется

,

где t₂- квантиль порядка1- Р_Д распределения хи-квадрат сn-1 степенями свободы.

Задание:определить верхние доверительные границы дляаис уровнем доверияР_Д = 0.95 .