Работа № 2. Выборки и их представление
Основные понятия
Напомним, что такое выборка, вариационный ряд, эмпирическое распределение, группирование, гистограмма, выборочные характеристики и др.
Выборкойх1, ..., хn объемаnиз совокупности, распределенной поF(х),называетсяn независимых наблюдений над случайной величиной с функцией распределенияF(x).
Вариационным рядом х(1) х(2) ... х(n)называется выборка, записанная в порядке возрастания ее элементов.
Каждому наблюдению из выборки присвоим вероятность, равную 1/n; получим распределение, которое называютэмпирическим; ему соответствуетфункция эмпирического распределения
=
,
где n(х)- число членов выборки, меньшихх. Значение этой функции для статистики определяется тем, что приn
F(x)
(теорема Гливенко).
Выборки больших объемов труднообозримы; разобъем диапазон значений выборки на равные интервалы и подсчитаем для каждого интервала частоту- количество наблюдений, попавших в него; частоты, отнесенные к общему числу наблюденийn, называютотносительными частотами; графическое представление распределения частот по интерваламгистограммой;накопленной частотойдля данного интервала называют сумму частот данного интервала и всех тех, что левее его.
Числовые характеристики эмпирического распределения называются выборочными характеристиками: выборочныесреднее (математическое ожидание), дисперсия:
=
, s2=
выборочный моментпорядкак:
mk
=
;
выборочные квантилиpпорядкар- корни уравнения
F(p)=p,
которыми являются члены вариационного ряда
(p)=([np]+1),
где [nр] означает целую частьnр; частным случаем (p= 0.5) является выборочнаямедиана - центральный член вариационного ряда. Значение выборочных характеристик состоит в том, что приnони стремятся к истинным значениям распределенияF(х).
Приведем с помощью пакетов примеры. Исходные данные находятся в табл.1 ( E(a)в таблице означает показательное (экспоненциальное) распределение с математическим ожиданием, равнымa).
таблица1
-
¹
Закон
n
¹
Закон
n
1
R[0, 2]
50
0.03
14
N(1,4)
60
0.01
2
N(2, 0.25)
60
0.02
15
E(5)
70
0.03
3
E(3)
70
0.01
16
R[0.3]
80
0.1
4
R[1, 3]
80
0.02
17
N(1,4)
50
0.3
5
N(1, 1)
50
0.01
18
E(1)
60
0.2
6
E(2)
60
0.03
19
R[1,3]
70
0.03
7
R[2, 3]
70
0.01
20
N(1,1)
80
0.02
8
N (0, 4)
80
0.03
21
E(2)
50
0.01
9
E(3)
50
0.02
22
R[2,3]
60
0.02
10
R[0, 2]
60
0.03
23
N(2,1)
70
0.01
11
N[2, 1]
70
0.02
24
E(3)
80
0.03
12
E(4)
80
0.01
25
R[1,2]
50
0.01
13
R[1, 2]
50
0.02