2. Переходные и частотные характеристики

звеньев

Графическая зависимость, показывающая изменение во времени выходной величины х₂ звена вследствие того, что входная величина x_l приобрела новые значения, называется переходной, или временной характеристикой.

Переходные характеристики определяются путем аналитического решения уравнения динамики звена относительно выходной величины x₂ или экспериментально. Для определения переходных характеристик в качестве временных функций входной величины x₁ используют так называемые стандартные единичные сигналы.

Наиболее распространенным единичным сигналом является единичный скачок (t), аналитическое выражение которого записывается с помощью функции Хевисайда:

Изображение единичного скачка в оперативной форме можно найти по формуле:

Вторым стандартным единичным сигналом является единичный импульс, представляющий собой импульс бесконечно большой величины и бесконечно малой длительности. Аналитическое выражение единичного импульса дается с помощью функции Дирака:

Функция Дирака должна также удовлетворять условию, что интеграл от нее, распространенный на сколь угодно малый отрезок, содержащий начало координат, равен единице:

Изображение функции Дирака в операторной форме имеет вид:

Во многих системах для отдельных звеньев вывод исходных уравнений динамики оказывается затруднительным. В этих случаях для заведомо линеаризуемых звеньев зависимости между входной и выходной величинами могут быть найдены экспериментальным путем. Динамические свойства звеньев определяются в данном случае с помощью, так называемых частотных характеристик.

Для получения частотных характеристик на вход звена подаются синусоидальные колебания с определенной амплитудой. На выходе звена для разных частот колебаний фиксируются отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг частот по фазе.

Пусть, например, на вход звена подаются колебания с амплитудой A_l и фазой ₁:

x₁ = A₁ sin(t+₁).

На выходе звена возникают синусоидальные колебания, но с иной амплитудой А₂ и фазой ₂:

x₂ = A₂ sin(t+₂).

Для разных частот колебаний на входе определяются усиление амплитуды, т. е. отношение A₂/A₁, и сдвиг по фазе B=₁-₂. График, изображающий зависимость усиления амплитуды от частоты, носит название амплитудной частотной характеристики. При  = 0 усиление амплитуды А равно значению статического коэффициента усиления звена.

Зависимость сдвига по фазе В от частоты называется фазовой частотной характеристикой. Если фаза В имеет отрицательное значение, то это соответствует отставанию выходных колебаний.

Обе частотные характеристики могут быть объединены в одном графике, называемом амплитудно-фазовой частотной характеристикой звена.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика для определенных частот ( строится в векторной форме. Если модулем вектора является отношение r=A₁/A₂ а аргументом - угол  = B, отсчитываемый от оси абсцисс против часовой стрелки, то, соединив концы векторов, можно получить амплитудно-фазовую частотную характеристику I рода. В том случае когда r = A₂/A₁ и угол  = B отсчитывается от оси абсцисс по часовой стрелке, получают характеристику II рода.

Для перехода от временных характеристик к частотным пользуются еще одной динамической характеристикой - комплексным коэффициентом усиления.

Комплексным коэффициентом усиления К называется комплексное число, модуль которого равен коэффициенту усиления A = A₂/A₁, а аргумент равен разности фаз В:

К = А (соsB + j sinB) или в показательной форме:

К = А е^jB.

Для звена с воздействием на входе x₁= А₁ е^jt и на выходе x₂= А₂ е^j(t+B) с учетом отношения A = A₂/A₁ и выражения получим:

т. е. выходная величина равна входной, умноженной на комплексный коэффициент усиления.

В теории автоматического регулирования доказывается, что комплексный коэффициент усиления может быть получен непосредственно из уравнения динамики звена путем подстановки в передаточную функцию звена вместо оператора Р величины j, т. е.:

K = W(j),

Зная передаточную функцию W(j), можно по формуле определить усиление амплитуды А и сдвиг по фазе В для рассматриваемого звена.

3. Динамические характеристики звеньев

Звенья, входящие в состав системы автоматического регулирования, могут иметь различные конструктивные исполнения, различные схемы и физические принципы действия, различные назначения и т. п. С точки зрения динамических свойств, важное значение имеет классификация звеньев по видам происходящих в них переходных процессов. В основу такой классификации положена зависимость между входной и выходной величинами в переходном процессе, которая называется динамической характеристикой звена.

Если произвести классификацию звеньев по этому признаку, то их конструктивное многообразие будет сведено к небольшому числу.

Математическое уравнение звена в переходном процессе определяет значение выходной величины в зависимости от входной и времени:

x_вых = f(x_вх,t)

Данное уравнение является уравнением динамики или динамической характеристикой звена.

Переходный процесс в звене может наступить при изменении входной величины или при появлении возмущающего воздействия. В теории автоматического регулирования в качестве типового воздействия на звено принимают мгновенный скачок входной величины от одного постоянного значения к другому. Кроме того, типовые воздействия в виде скачка обычно берут единичными. Если входная величина подается в виде единичного скачка, то изменение выходной величины в зависимости от времени при переходном процессе будет иметь тот или иной вид.

В зависимости от характера протекания переходного процесса при нулевых начальных условиях выходной величины различают шесть основных типов звеньев: пропорциональные (кривая 1), апериодические (кривая 2), колебательные (кривая 3), интегрирующие (кривая 4), дифференцирующие идеальные (кривая 5) и дифференцирующие реальные (кривая 6).

Звено, в котором величина на выходе пропорциональна величине на входе, называется пропорциональным (иначе его называют усилительным, безынерционным, идеальным или безъемкостным). Для него скачкообразное изменение входной величины мгновенно передается на выход звена, причем выходная величина с течением времени не изменяется.

Зависимость между входной и выходной величинами характеризуется выражением:

x_вых = K x_вх,

которое совпадает с выражением статической характеристики (K - коэффициент усиления или передаточное число звена).

К пропорциональным относятся звенья, выполненные в виде рычага, механической передачи, электронного усилителя, а также преобразователи механического перемещения в электрическое напряжение с помощью потенциометра или реостата.

Звено, в котором при скачкообразное изменении величины на входе величина на выходе апериодически (по закону экспоненты) стремится к новому установившемуся значению, называется устойчивым апериодическим звеном (иначе его называют инерционным, статическим, одноемкостным).

Зависимость между входной и выходной величинами в этом звене определяется выражением:

x_вых = К x_вх (1-e^-t/T)

где T - так называемая постоянная времени звена, характеризующая его инерционность.

К апериодическим можно отнести звенья, выполняемые в виде магнитного усилителя, термопары, различных тепловых аппаратов.

Звено, в котором при скачкообразном изменении величины на входе величина на выходе стремится к новому установившемуся значению, совершая затухающие колебания, называется устойчивым колебательным (иначе его называют двухемкостным).

К колебательным могут быть отнесены механические звенья, обладающие массой, упругостью и вязким трением (демпфированием), например, центробежный механизм, масса, подвешенная на пружине и имеющая успокоительное устройство, а также электрические колебательные контуры, состоящие из активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

Звено, в котором скорость изменения величины на выходе пропорциональна величине на входе, называется интегрирующим (иначе его называют астатическим, нейтральным).

Характер переходного процесса такого звена описывается уравнением:

x_вых = K x_вх t

Если на вход интегрирующего звена подать постоянное возмущение (x_вх = const), то на выходе звена получим выходную величину, возрастающую линейно с течением времени.

К интегрирующим звеньям можно отнести гидравлический двигатель, у которого массой подвижных частей и силами трения можно пренебречь, входом считать скорость подачи жидкости в цилиндр, выходом - перемещение поршня; электродвигатель, у которого можно пренебречь электромеханической постоянной времени, входом считать напряжение питания, а выходом - угол поворота вала электродвигателя.

Звено, в котором величина на выходе пропорциональна скорости изменения величины на входе, называется идеальным дифференцирующим (иногда его называют импульсным звеном). При единичном скачкообразном воздействии такое звено дает на выходе мгновенный импульс. Как при t<0, так и при t>0 выходная величина равна нулю. Только в момент изменения (скачка) входной величины выходная величина не равна нулю, поэтому выходная величина будет иметь вид мгновенного импульса.

Звено, в котором величина на выходе изменяется по закону убывающей экспоненты, называется реальным дифференцирующим (иногда его называют импульсным звеном второго порядка).

Характер переходного процесса такого звена описываются уравнением:

x_вых = К x_вх e^-t/T

При работе автоматических устройств реальное дифференцирующее звено может еще иметь составляющие, пропорциональные величине на входе.

К реальным дифференцирующим звеньям могут быть отнесены: успокоитель с пружиной в механических системах; в электрических цепях - элементы, состоящие из активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.