1. Типы звеньев и их характеристики

⁽¹⁾

Fc- сила сопротивления (вязкого трения).

F- движущая (восстанавливающая) сила действия пружин.

При X=X₀; Y=Y₀;

Отклонение от равновесия состояния.

∆x= x-x₀; d∆x=dx;

∆y= y-y₀; d∆y=dy; d² ∆y=d²y;

Fx,y)=F(x₀,y₀)=F₀=0

Уравнение движения (1) примет вид:

(2)

В безразмерных координатах

( )

(3)

Где и - жесткость пружины (в нашем случае , в общем случае ).

Разделим уравнение (3) на :

, или

(4) –

Где

- постоянные времени; - коэффициент статизма звена.

- половина квадрата времени, необходимо для перемещения груза от исходного предельного состояния до равновесного при максимальной восстанавливающей силе и отсутствии сопротивления.

- характеризует инерционные свойства звена.

- время, необходимое для прохождения грузом пути от до с постоянной скоростью при силе сопротивления, равной максимальной восстанавливающей силе.

- постоянная времени деформирования.

- статизм. , - коэффициент чувствительности (усилия)

1. Общее решение уравнения

имеем в виде

Характеристическое уравнение :

2. Частное решение :

Рассмотрим различные случаи :

а.) при ; , - вещественная; ;

б.) При или больше нуля ∞

в.) уравнение (4) принимает вид:

его решением будет

г.)

Не обязательно монотонно.

д.) ; ;

обозначим ; ; ;

степень колебательности

При отсутствии вязкого трения q=0 –незатухающее колебание

Всякое автоматическое устройство состоит из отдельных элементов, выполняющих самостоятельные функции. Следовательно, элементы автоматического устройства можно подразделить по их функциональному назначению.

Для каждого из этих элементов можно установить математическую зависимость между рядом физических величин, характеризующих протекание процесса регулирования в этом элементе. Наименьшее и чаще всего встречающееся число таких физических величин в элементе два. Например, в центробежном механизме (измерительный элемент) изменение частоты вращения вала вызывает определенное перемещение муфты. Очевидно, что в центробежном механизме, где имеется определенная функциональная зависимость между частотой вращения вала и перемещением муфты, изменение одной величины происходит под действием другой.

Происходящие в большинстве элементов преобразования одной величины в другую имеют только одно направление. В центробежном механизме изменение частоты вращения вала приводит к изменению перемещения муфты, но перемещение муфты какой-либо внешней силой не вызовет изменения частоты вращения вала. Следовательно, элементы по происходящим в них преобразованиям обладают, как правило, свойствами направленности. Таким образом, в элементах происходят преобразования одних физических величин в другие в определенном направлении.

Рис. 19. Изображение звена структурной схемы

Преобразуемые физические величины различают между собой так: одну из них считают причиной, а вторую - следствием. Физическая величина, которая является причиной изменения другой физической величины, называется входной х_вх, а физическая величина, которая является ее следствием, называется выходной x_вых.

Перечисленные свойства элементов - разделение их по функциональному назначению и направленность преобразований в них - позволяют изображать элементные функциональные схемы систем автоматического регулирования и показывать на схемах стрелками направления происходящих преобразований и воздействия одного элемента на другой (рис.20.).

Рис. 20. Функциональная схема системы автоматического регулирования напряжения генератора постоянного тока

Кроме того, всякое автоматическое устройство по характеру происходящих в нем переходных процессов можно представить состоящим из простейших составных частей - звеньев, отражающих динамические свойства данного автоматического устройства. Это позволяет изображать структурные схемы автоматических устройств.

Схема, отражающая состав звеньев (их число и вид), характер связей между ними и их динамические свойства, называется структурной схемой. Рис. 19.

Простейшая составная часть структурной схемы автоматического устройства или системы автоматического регулирования, отражающая их динамические свойства, называется звеном структурной схемы (или просто звеном). Каждое звено на структурной схеме изображается в виде четырехугольника, слева от которого стрелкой указывается направление входной величины (рис. 19), а справа - выходной. Внутри четырехугольника в некоторых случаях изображается вид изменения выходной величины в зависимости от времени, т. е. вид переходного процесса при подаче на вход скачкообразного возмущения.

2. Статические характеристики звеньев

Статической характеристикой звена называется зависимость между входной и выходной величинами в различных установившихся состояниях данного звена. Математически установившееся состояние равновесия звена, связь между входной и выходной величинами можно записать в виде:

Данное уравнение является уравнением статики или статической характеристикой звена. Обычно статическая характеристика звена изображается графически (рис. 21.а). Статическая характеристика U=f(I_в) генератора нелинейная, следовательно, генератор является нелинейным звеном.

Рис. 21.

Статическая характеристика электродвигателя постоянного тока (рис. 21.б) криволинейная, однако на участке a₁a она линейна. Поэтому если при переходном процессе системы используется только прямолинейный участок а₁а, тогда это звено является линейным. Если же при переходном процессе системы используется вся характеристика b₁a₁oab, тогда рассматриваемое звено представляется как нелинейное.

Таким образом, на основании вида рабочего участка статических характеристик все звенья подразделяются на линейные и нелинейные.

Звено называется линейным, если его статическая характеристика выражается линейной функцией. Уравнение линейной функции имеет вид:

,

где a - постоянная величина, имеющая размерность х_вых, К - постоянная величина, имеющая размерность х_вых/х_вх.

Рис. 22. Cтатические характеристики линейных звеньев (а) и (б)

Величина К показывает, во сколько раз изменяется установившееся значение входной величины при передаче ее через данное звено на его выход (рис. 22):

Обычно величину К называют передаточным числом или коэффициентом усиления. Оба термина отражают одно и то же понятие и применяются в соответствии с той технической задачей, которую выполняет данное звено. Таким образом, величина К определяет наклон линейной статической характеристики звена.

Примером линейного звена может быть электрическая цепь с постоянным сопротивлением, для которой справедлив закон U=RI. Если считать, что напряжение является входной величиной, а сила тока - выходной, то уравнение звена будет иметь вид (рис. 22)

Другим примером линейного звена может служить рычаг.

Звено называется нелинейным, если его статическая характеристика выражается нелинейной функцией. Вид статических характеристик нелинейных звеньев весьма разнообразен.

Звенья систем автоматического регулирования могут иметь как параллельное, так и последовательное соединение между собой.

При параллельном соединении звеньев входная величина является общей для всех звеньев, а выходная равна алгебраической сумме выходных величин звеньев. Для получения статической характеристики параллельно соединенных звеньев необходимо построить их в одном и том же масштабе для каждого звена и просуммировать их координаты (рис.23).

При последовательном соединении звеньев выходная величина каждого предыдущего звена является входной величиной для последующего звена. Для получения статической характеристики, например, трех последовательно соединенных звеньев необходимо построить их в одном и том же масштабе соответственно в I, II и III квадрантах. В IV квадранте получим результирующую . Рис. 24.

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев:

Передаточная функция параллельно соединенныхзвеньев равна алгебраической сумме передаточных функций этих звеньев :

Передаточная функция цепи с обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на сумму (разность) единицы и произведения передаточной функции прямой цепи и передаточной функции цепи об­ратной связи. При этом знак ( + ) соответствует ООС, знак (—) — ПОС :

Независимо от сложности системы передаточные функции для замкнутой АСР можно привести к трем типам:

основная - W₀ (р) = Y (р)/Х (р) = W (р)/(1 + W (р));

рассогласованная — W_p (р) = ∆Х (р)/Х (р)'= 1/(1+W (p));

дополнительная — W_n (р) = Y_t (p)/X [p) = W₀ (р)/W_o.c. (p), где Y_i (p) — выходной сигнал любого звена, входящего в прямую цепь.

В общем случае при соединении любого числа звень­ев передаточная функция АСР или АСУ может быть представлена в виде

Основные сведения о системах содержатся в знаменателе — характеристическом полиноме D(p). Например, знак минус в составе этого оператора свидетельствует о неустойчивости апериодического и колебательного звеньев с передаточными функциями W(p) =1/(Tp—1) и W(p) = 1/(T\p²—Т₂р+1). Подбором определенных звеньев, обратных связей и соединений в ходе синтеза структурных схем можно предварительно оценить устойчивость системы.

ЛЕКЦИЯ №5