1. Операционные методы в задачах автоматического регулировании

Для решения линейных дифференциальных уравнений в теории автоматического управления в основном используют методы операционного исчисления.

Основной принцип операционного исчисления заключается в том, что исходные функции какого-то вещественного переменного *, входящие в состав уравнений, сопоставляются с помощью универсального интегрального преобразования с функциями другого, но уже комплексного переменного р. При проведении подобного преобразования исходные функции именуются оригиналами, а сопоставляемые функции - изображениями.

Смысл преобразования «оригинал-изображение» состоит в том, что операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов соответствуют простые алгебраические операции в области изображений. Причем операции дифференцирования оригиналов соответствует умножение их изображений на некоторый оператор р, а операции интегрирования оригиналов - деление их изображений на этот оператор. По полученному таким образом с помощью простых алгебраических действий изображению можно найти оригинал. При этом используют ряд простых правил и специальный каталог изображений.

Рассмотрим сущность интегрального преобразования, лежащего в основе операционного исчисления.

Пусть f(t) - функция вещественного переменного t, удовлетворяющая следующим условиям:

1) функция f(t) непрерывна или кусочно- непрерывна на всем интервале изменения переменного t;

2) функция f(t) определена только для положительных значений t и принимается равной нулю при всех отрицательных значениях аргумента;

3) модуль функции f(t) растет медленнее, чем некоторая экспоненциальная функция:

где М, s₀ - произвольные, не зависящие от t числа.

При соблюдении перечисленных условий для функции f(t) существует интеграл L{f(t)}, называемый интегралом Лапласа:

В операционном исчислении вместо непосредственного использования интеграла Лапласа принимается интегральное преобразование Карсона:

Функция F(р) называется изображением для оригинала f(t).

Рассмотрим пример нахождения изображения F(р) для оригинала Интеграл Лапласа по (5.5) равен:

Изображение F(p) по интегральному преобразованию Карсона (5.6) имеет вид:

Существуют специальные таблицы интегральных преобразований. В табл.1 приведены некоторые наиболее часто встречающиеся преобразования Карсона.

ТАБЛИЦА 1. НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАРСОНА

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
А = const	A

Как оригиналы, так и их изображения в основном являются достаточно сложными, поэтому даже при наличии табличных данных для нахождения оригиналов по их изображениям и наоборот приходится прибегать к четырем следующим правилам операционного исчисления.

1.Изображение суммы конечного числа оригиналов равно сумме их изображений, т. е. если:

и для каждого оригинала f_i(t), имеется изображение F_i(p)

2 Если известно изображение F(p) оригинала f(t) и имеется постоянная величина a>0, то изображение оригинала f(at) имеет вид F(p/a).

3. Дифференцирование оригинала. Если оригинал f(t) имеет изображение F(p), то можно показать, что дифференцированию оригинала f'(t) соответствует умножение его изображения на число р, являющееся оператором, т. е. pF(p).

4. Интегрирование оригинала. Аналогично правилу 3 можно показать, что интегрированию оригинала

соответствует деление его изображения на оператор р, т. е. F(p)/p. В сложных случаях интегральных преобразований пользуются теоремами операционного исчисления.

При синтезе и анализе систем автоматического регулирования удобно пользоваться передаточными функциями. Передаточная функция регулятора, объекта регулирования, любого звена CAP и самой CAP представляется в форме преобразования Лапласа и получается в результате интегрального преобразования Лапласа уравнения динамики рассматриваемого звена или системы.

Передаточной функцией W(p) называется отношение изображения выходной величины x₂ к изображению входной величины x₁, записанное в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Получение передаточной функции можно рассмотреть на примере, связанном с выводом уравнения динамики объекта регулирования, в качестве которого выбрано кондиционируемое производственное помещение.

Для данного объекта, рассматриваемого как динамическое звено, прежде всего следует определить входную величину (регулирующее воздействие) и выходную величину (регулируемый параметр). Если в качестве регулирующего воздействия считать температуру приточного воздуха t₁, а регулируемым параметром - температуру воздуха в помещении t₂, то тогда уравнение динамики объекта должно определить их взаимосвязь в функции времени .

Для удобства вывода уравнения динамики объекта введем следующие обозначения:

G - количество приточного воздуха, подаваемого в помещение, кг/ч; I₁, d₁ - энтальпия (теплосодержание) и влагосодержание приточного воздуха; I₂, d₂ - энтальпия и влагосодержание в помещении (в точке установки датчиков); t_н - температура наружного воздуха; q - тепловая характеристика помещения, т.е. теплота, теряемая через ограждения в 1 ч при t₂ – t₁ =1 °С; М₁ = с_{в. в} G_п - теплота, аккумулируемая воздухом помещения при изменении температуры t₂ на 1°С; с_{в. в} = с_в. + d/(1000*c_п) - удельная теплоемкость влажного воздуха (здесь с_в и с_п соответственно теплоемкость сухого воздуха и пара); M₂ -теплота, аккумулируемая поверхностями ограждений помещения и находящихся в нем машин и оборудования при изменении температуры t₂ на 1°С; G_п - масса воздуха, заполняющего помещение; Q - тепловыделения в помещении.

Для облегчения вывода уравнения динамики объекта целесообразно принять следующие допущения: температура воздуха по всему объему помещения составляет t₂, а влагосодержание приточного воздуха существенно не отличается от влагосодержания воздуха в помещении, т. е. .

Уравнение теплового баланса для стационарного режима объекта с учетом принятых допущений можно представить так:

G(I_1,0-I_2,0)+Q-q(t_2,0-t_н)=0 (1)

Если дать приращение t_l,0 до t_l,0+t₁ и соответственно J_1,0 до J_1,0+J₁+t₁, в объекте начнется переходный процесс, и уравнение динамики объекта примет вид:

(2)

Вычитая из (2) уравнение (1), получим уравнение переходного процесса

(3)

Так как энтальпия влажного воздуха

то при d = const

Подставляя значение J в уравнение (3) и после соответствующих преобразований произведя его нормализацию, уравнение переходного процесса представим как

(4)

Поскольку постоянный коэффициент при первой производной в уравнении (4) имеет размерность времени в первой степени, то можно сделать вывод о том, что оно отражает в математической форме рассматриваемый физический процесс в объекте в функции времени.

Введя безразмерные величины

и ,

где t_2,н и t_1,н - номинальные значения температуры, и обозначив постоянную времени переходного процесса в объекте:

,

а коэффициент усиления:

получим уравнение динамики объекта:

(5)

Согласно уравнению (5), объект характеризуется как апериодическое динамическое звено первого порядка. Переходный процесс в рассматриваемом объекте может быть представлен в виде передаточной функции. Для этого необходимо уравнение (5) выразить в операторной форме. Так как оператор p=d/dt, уравнение динамики объекта примет вид: .

Тогда передаточная функция объекта, согласно ранее данному определению, будет выражена:

Передаточная функция элементарного динамического звена как неделимой части какой-либо системы характеризуется, как правило, тем, что входящий в нее оператор р возводится не более чем во вторую степень.

Передаточные функции, представляющие математический портрет сложной динамической системы, могут иметь такой вид, при котором получение с их помощью количественных значений переходных процессов возможно только путем расчетов на цифровых ЭВМ.