2.3. Рівняння Максвела

Всі електромагнітні процеси, які відносяться до макроскопічної електродинаміки, описуються законами, вперше сформульовані та опубліковані в 1873 р. у виді диференціальних рівнянь Дж. К. Максвелом. Ці рівняння були отримані в результаті обробки отриманих до того часу експериментальних даних і називаються „рівняннями Максвела”. Існує дві взаємозв’язані форми представлення чотирьох рівнянь Максвела, які потрібно просто запам’ятати:

1). диференціальна форма: 2). інтегральна форма:

(2.7)

Також наведемо тут матеріальні рівняння, які показують взаємозв’язок між величинами електричного і магнітного полів:

. (2.8)

Більш детальніше про рівняннями Максвела і матеріальні рівняння буде описано нижче.

Перше рівняння Максвела (повний струм і магнітне поле)

Перше рівняння Максвела узагальнює закон Ампера, який визначає взаємозв’язок між електричним і магнітним полями.

Максвелом цей закон був сформульований у диференціальній формі: , а в інтегральній формі: .

Виходячи з основі фізичної суті першого р-ня Максвела можна зробити висновки:

1). Для стаціонарного процесу:

, (2.9)

Це є зв’язок магнітного поля з постійним струмом, якщо , то завжди , тобто

Приклад:

Розрахуємо величину напруженості магнітного поля на відстані від провідника, по якому тече струм (див. рис). Для цього візьмемо циркуляцію вздовж кола, тоді:: , тоді, згідно (2.9) циркуляція рівна струму , звідки , або у векторній формі: .

Фактично – закон повного струму або закон Ампера

2). Розглянемо випадок, коли :

– струм зміщення, (2.10)

тоді – густина струму зміщення. Струм зміщення у вакуумі ніяк не зв’язаний з рухом зарядів.

3). Використовуємо тотожність . Візьмемо дивергенцію від першого рівняння Максвела у диференціальній формі, тобто: .

Тоді: . (2.11)

Тут – густина узагальненого струму. Тоді вектор густини узагальненого струму не має ні джерел, ні стоків.

Для знаходження вектора узагальненого струму використаємо теорему Остроградського-Гауса:

. (2.12)

Звідки важливий висновок: узагальнений струм через будь-яку замкнуту поверхню S рівний нулю.

Максвел дав загальне формулювання закону повного струму. Він ввів фундаментальні поняття струму зміщення і, базуючись на роботах Фарадея, дійшов висновку, що у випадку змінних полів струм зміщення з точки зору створення магнітного поля рівноцінний струму провідності. Прикладом електричної системи, в якій наявні струми зміщення, може служити конденсатор в ланці змінного струму.

С

конденсатор

хематичне представлення структурного відношення між зміною узагальненого струму і магнітним полем може мати наступний вигляд:

Фізична суть першого рівняння Максвел наступна:

1. Джерелом магнітного поля являється як струм провідності (направлений рух зарядів), так і електричне поле, яке змінюється в часі.

2. Рівняння встановлює взаємозв’язок часових змін електричного поля з просторовими змінами магнітного поля (тому що ротор визначається через просторові похідні компонентів поля).

3. В діелектричному середовищі чи вакуумі електричне поле, яке змінюється в часі, викликає вихрове магнітне поле.

4. При наявності струмів провідності чи зміщення магнітне поле, яке створюється ними, має вихровий характер (лінії вектора замкнені).

5. Замкнені магнітні лінії вектора охоплюють вектори густини струму провідності, струму зміщення чи їх суму.

6. Розбіжність вектора густини повного струму рівна нулю, тобто лінії вектора повного струму неперервні.

Друге рівняння Максвела (узагальнений закон електромагнітної індукції)

Друге рівняння Максвела узагальнює закон індукції Фарадея (закон електромагнітної індукції для електромагнітного поля в просторі), який формулюється наступним чином: якщо замкнений контур пронизується змінним потоком Ф, то в контурі виникає електрорушійна сила (ЕРС) е, яка рівна швидкості зміни магнітного потоку: . Знак мінус в правій частині формули означає, що ЕРС, яка виникає в контурі завжди, ніби намагається протидіяти зміні потоку, який пронизує даний контур. Це визначення відомо під назвою ”правило Ленца”.

Друге рівняння Максвела в інтегральній формі має такий вигляд:

.

У диференціальній формі друге рівняння Максвела має вигляд: .

Можемо зробити наступні висновки:

1). Якщо електричне поле відсутнє, тобто , звідки , тобто магнітне поле, яке існує без електричного, може бути тільки стаціонарним. Будь-яка зміна магнітного поля обов’язково викликає появу електричного поля, тоді , а отже .

2 ). В інтегральній формі друге рівняння Максвела співпадає із узагальненим законом електромагнітної індукції Фарадея (див. рис).

Дійсно, нехай: – магнітний потік (Вб) і – електрорушійна сила (В), тоді: (2.13)

Закон Фарадея встановлено для провідних контурів. Та все ж, не має значення, які саме матеріальні об’єкти опинились в області побудови. Це виходить за межі фактів, отриманих експериментальним шляхом. Тому друге рівняння Максвела можна розглядати як узагальнений закон електромагнітної індукції. (до Максвела вважалось, що закон електромагнітної індукції є справедливим лише для провідних контурів. А Максвел показав, що цей закон є справедливим і для тих контурів, які не є провідними).

Структурні відношення між зміною магнітного потоку і електричним полем:

Фізична суть другого рівняння Максвела наступна:

1. Зміна в часі магнітного поля, пронизуючого поверхню, яка опирається на довільний контур, породжує електричне поле, циркуляція напруженості якого по цьому контуру, рівна швидкості зміни магнітного потоку в часі, яка береться з протилежним знаком.

2. Електричне поле, яке створене змінним магнітним полем, має вихровий характер. Вихором (ротором) вектора напруженості електричного поля являється швидкість зміни вектора магнітної індукції.

3. Замкнені лінії електричного поля охоплюють вектор швидкості зміни індукції магнітного поля.

4. Рівняння встановлює взаємозв’язок просторових змін електричного поля і часових змін магнітного поля.

Третє рівняння Максвела (електричне поле і заряди)

Третє рівняння Максвела є узагальненням закону Гауса у випадку змінних процесів. Закон Гауса зв’язує потік вектора електричної індукції через довільну замкнену поверхню S із зарядом q, який зосереджений всередині цієї поверхні:

або в диференціальній формі:: .

З фізичної суті третього рівняння Максвела можна зробити такі висновки.

1). означає, що лінії вектора починаються на додатних і закінчуються на від’ємних зарядах.

2). – також відома як теорема Гауса.

П отік через замкнуту поверхню S переходить в нуль не тільки при відсутності зарядів всередині S, але і при їх нейтралізації, коли повний додатній заряд зрівноважується від’ємним.

Приклад практичного використання 3-го закону Максвела. Знайдемо поле точкового заряду q :

,

тобто: або , звідки (2.14)