6. Електродинаміка і оптика.
6.1. Хвилі з довільним напрямом поширення
Н
X
,
,
.
Електромагнітне поле хвилі в такій системі координат буде виглядати так:
, . (6.1)
Введемо хвильовий вектор , напрям якого співпадає із напрямом променя, а довжина дорівнює хвильовому числу:
, (6.2)
де . Хвильовий вектор перпендикулярний хвильовому фронту. Для переходу до координат X, Y, Z можна записати наступну рівність:
,
де – радіус-вектор точки. Таким чином, е/м поле плоскої однорідної хвилі, поширюючись в довільному напрямі , визначається виразом:
, де . (6.3)
Оскільки , тому швидкість переміщення хвильового фронту (фазова швидкість) вздовж осей X, Y, Z рівна:
, , ,
де – показник заломлення середовища; с – швидкість світла в вакуумі; – швидкість світла в середовищі.
Цей самий результат отримаємо при розгляді
. (6.4)
Таким чином, швидкість переміщення хвильового фронту вздовж осей координат завжди більша або рівна фазової швидкості хвилі вздовж її напряму поширення.
Швидкість переносу енергії вздовж осей координат (групова швидкість):
, , , (6.5)
і ніколи не перевищує швидкості світла с.
В ізотропному середовищі без втрат завжди: , і є величина постійна для будь-якого напрямку.
6.2. Відбивання і заломлення е/м хвиль
Будемо розглядати гармонічний електромагнітний хвилевий процес у випадку, коли весь простір розділений площиною на два однорідних півпростори з різними властивостями. В першому середовищі задамо так звану падаючу хвилю , , яка поширюється із нескінченності до границі під деяким кутом, і припустимо, що існує відбита хвиля , , яка поширюється від границі. В другому середовищі допустимо існування одної пройденої хвилі , (заломленої хвилі), яка виходить від границі в нескінченність.
та , (6.6)
де індекси 1 і 2 позначають два різних середовища.
6.2.1. Нормальне падіння
Розпочнемо з розгляду окремого випадку, коли падаюча хвиля поширюється вздовж осі Z, тобто по нормалі до границі розділу. Напрямки поширення відбитої і пройденої хвиль є колінеарні (див. рис.).
,
, (6.7)
.
Введемо наступні коефіцієнти:
,,
де – коефіцієнт відбиття, а – коефіцієнт проходження (заломлення).
Виходячи з цього, можна дати наступні визначення:
-
коефіцієнт відбиття – це відношення комплексних амплітуд напруженостей електричного поля відбитої хвилі до падаючої, взятих на поверхні розділу середовищ.
-
коефіцієнт заломлення – це відношення комплексних амплітуд напруженостей електричного поля заломленої хвилі до падаючої, взятих на поверхні розділу середовищ.
Оскільки значення цих коефіцієнтів є комплексними величинами, тому модуль коефіцієнта відбиття (заломлення) дає відношення амплітуд, а аргумент – різницю фаз відбитої (заломленої) і падаючої хвиль на поверхні розділу середовищ.
Тоді із (6.7) випливає, що: та .
Припускаючи в (6.7) Z=0, внесемо ці вирази в граничні умови і отримуємо:
. (6.8)
. (6.9)
Звідки можна записати:
. (6.10)
Розглянемо декілька варіантів поширення хвилі.
Випадок 1. Нехай або , тоді – випадок повного проходження електромагнітної хвилі.
Випадок 2. Коли W1 та W2 є дійсні, тоді можна спостерігати повне відбиття. Воно має місце, коли , а це, виходячи з модифікованої формули (6.10):, буде при умові, якщо або , а на практиці це означає, що або .
Розглянемо приклад ідеального провідника, для якого . Оскільки для ідеального провідника:, тоді . З формули (6.10) слідує, що: , тобто буде повне відбиття. При таких умовах виникає можливість утворення стоячої хвилі.