Теория ошибок и уравнительные вычисления

§ 1. Теория ошибок а. Равноточные измерения

Виды ошибок измерения. Любые измерения сопровождаются ошибками. Ошибки зависят от многих причин, в первую очередь от несо­вершенства применяемых инструментов, от несовершенства органов чувств наблюдателя и от конкретных условий, в которых производятся измерения.

Различают три основных вида ошибок: грубые ошибки или промахи, систематические ошибки и случайные (неизбежные) ошибки.

Грубые ошибки или промахи. Грубые ошибки недопустимы при производстве измерений, так как они «могут весьма значительно иска­зить результаты измерений. Чаще всего эти ошибки вызваны небрежностью, просчетом наблюдателя (просчет целой ленты при измерении длин, просчет десятков минут или градусов при измерении углов и т. д.). Грубые ошибки могут быть вызваны также неисправностью инструмента или небрежностью при обращении с ним (не закреплен становой винт теодолита при измере­нии углов, не приведен на нульпункт пузырек уровня при измерении верти­кальных углов и т. д.).

При правильной организации измерений грубые ошибки не должны иметь места.

Основным методом выявления грубых ошибок служат контрольные изме­рения. Результаты измерения, содержащие грубые ошибки, отбрасываются и измерения повторяются вновь. Методика производства измерений, разра­батываемая в специальных курсах — маркшейдерское дело, геодезия, гор­ная геометрия и т. д. — в первую очередь предусматривает возможность выявления грубых ошибок. В теории ошибок грубые ошибки или промахи не рассматриваются.

Систематические ошибки. При производстве данного измере­ния систематические ошибки остаются постоянными по величине и по зна­ку или изменяются по определенному закону. Абсолютная величина и знак систематической ошибки могут быть выражены в виде однозначной функции от условий измерения и соотношения отдельных элементов измерительного инструмента. К систематическим ошибкам относятся, например, несовпаде­ние номинальной длины мерной ленты с ее фактической длиной (ошибка компарирования ленты), изменение длины ленты при изменении темпера­туры, ряд инструментальных ошибок, например влияние негоризонтальности оси вращения трубы теодолита при измерении горизонтальных углов в на­клонных выработках и т. п. К систематическим ошибкам могут быть отне­сены также личные ошибки наблюдателя.

Систематические ошибки, так же как и грубые ошибки, должны быть исключены из результатов измерения. В отличие от грубых ошибок, они практически не могут быть исключены полностью, а только в пределах не­обходимой и достаточной точности. Методы исключения из результатов измерения систематических ошибок следующие:

1) определение величины и знака систематической ошибки и исправле­ние результата измерения путем введения соответствующей поправки;

2) использование такой организации измерений, при которой система­тическая ошибка исключается в процессе наблюдения (отсчет по двум нониусам теодолита для исключения ошибки, вызываемой эксцентриситетом алидады, и т. п.). Методы определения систематических ошибок и конкрет­ная методика измерения для исключения систематических ошибок разра­батываются соответствующими специальными дисциплинами, и в теории ошибок не рассматриваются.

Случайные ошибки. Случайные ошибки органически присущи из­мерениям. Полностью исключить их из результатов измерения и практи­чески и принципиально невозможно. Поэтому иногда они называются неиз­бежными ошибками. Изменяя методику, инструменты и условия измерения, можно уменьшить величину случайных ошибок, а принципиально возможно сделать их по абсолютному значению меньше любого наперед заданного значения. В соответствии с проводимыми измерениями различают случайные ошибки отдельных измерительных операций, например, при измерении угла теодолитом — случайные ошибки визирования, отсчета по лимбу, центриро­вания инструмента и т. д. или в целом всего измерительного действия — случайная ошибка измерения угла. Теория ошибок рассматривает, в основ­ном, только случайные ошибки.

К случайным ошибкам относятся ошибки, обладающие следующим основным свойством. Появление при ряде измерений ошибок , равных по ве­личине и обратных по знаку, — равновероятно. Как следствие, получаем:

= = 0 при n .

где n — число отдельных случайных ошибок равноточных независимых изме­рений одной и той же измеряемой величины, безошибочное значе­ние которой известно;

— случайная ошибка, получаемая как разность между безошибочным значением и измеренным значением измеряемой величины.

В отличие от грубых и систематических ошибок при производстве изме­рений нельзя определить или вычислить величину и знак случайной ошибки 8, за исключением того случая, когда известно безошибочное или «истинное» значение измеряемой величины. Если результаты измерений по­

кажут, что — не стремится к нулю при увеличении числа измерений я,

то это будет свидетельствовать о наличии систематических ошибок в изме­рениях.

Средняя квадратическая ошибка. За меру случайных оши­бок чаще всего принимают среднее квадратическое из отдельных случайных ошибок независимых равноточных измерений, которое называют средней квадратической ошибкой или, сокращенно, средней ошибкой. Средняя ошибка m выражается формулой

m =

где [ = ₁² + ₂² + + _n²

n — число отдельных случайных ошибок равноточных независимых измерений одной и той же измеряемой величины, безошибоч­ное значение которой известно.

Для вычисления средней ошибки по приведенной формуле необходимо знать безошибочные значения измеряемых величин, так как случайные ошибки представляют разность между безошибочным значением и изме­ренным значением измеряемой величины. Применять эту формулу удается весьма редко, так как почти всегда неизвестны безошибочные значения измеряемых величин¹

1 Под вероятностью w понимается отношение а — числа случаев, благоприятствующих появлению данного события, к N — общему числу всех возможных случаев:

=

Вероятность, равная 1 (при a = N), свидетельствует о достоверности по­явления рассматриваемого события. Вероятность, равная 0, свидетельствует о невозможности появления рассматриваемого события.

Вычисление средней квадратической ошибки равно­точно измеренных величин. На практике чаще всего среднюю ошибку вычисляют по отклонениям измеренных значений от наиболее ве­роятных значений измеряемых величин. В этом случае средняя ошибка из­мерения m выражается формулой

m = = ,

где v — отклонение измеренных значений от наиболее вероятных значений измеряемых величин; г — число избыточных (лишних) измерений, равное разности между числом всех произведенных измерений — n и числом необходимых измерений — k (необходимых для однократного получения значе­ний всех измеряемых величин). Под наиболее вероятным значением измеряемых величин понимаются их значения, полученные в результате уравнения по способу наименьших ква­дратов (по принципу наибольшего веса).

Разность v между измеренным значением и наиболее вероятным значе­нием называется вероятнейшей ошибкой. Таким образом, можно сказать, что средняя ошибка равна корню квадратному из суммы квадратов вероятнейших ошибок, деленной на число избыточных измерений.

Для случая, когда n раз равноточно измерена одна и та же величина, уравнивание измерений сводится к взятию среднего арифметического из измеренных значений и средняя ошибка измерения будет вычисляться по формуле

m =

так как число необходимых измерений в данном случае равно единице.

Для этого случая сумма вероятнейших ошибок всегда будет равна нулю:

= v_{1 +} v_{2 + +} v_n = 0

что может служить контролем вычисления вероятнейших ошибок и среднего арифметического измеряемой величины.

Средняя ошибка уравненных значений измеряемых величин. При равноточных измерениях средняя ошибка уравненных (по способу наименьших квадратов) значений М равна средней ошибке изме­рений т, умноженной на корень квадратный из числа необходимых измере­ний k, деленного на число всех измерений п:

M = m

Средняя ошибка среднего арифметического. Если n раз равноточно измеряется одна и та же величина, то уравнивание измерений сводится к взятию среднего арифметического из измеренных значений. Для этого случая средняя ошибка уравненного значения измеряемой величины, называемая средней ошибкой среднего арифметического М, будет равна

M = m = = ,

так как число необходимых измерении k для данного случая равно единице.

Связь между средней и одиночной ошибками. В практике работ, по результатам измерения при наличии избыточных измерений можно вычислить среднюю ошибку по вероятнейшим ошибкам (поправкам), не зная

одиночных случайных ошибок. Возникает вопрос, как, зная среднюю ошибку, перейти к случайной ошибке отдельной измеряемой величины или отдель­ного измерения. Случайная ошибка отдельного измерения может иметь как положительный, так и отрицательный знак, а по абсолютному значению может быть и меньше и больше средней ошибки.

Используя теорию вероятностей, можно установить следующее. Появле­ние случайной ошибки отдельного измерения как со знаком плюс, так и со знаком минус равновероятно. Вероятность¹ того, что случайная ошибка отдельного измерения будет по абсолютному значению меньше средней ошибки, равна примерно ²/з, а вероятность того, что она будет больше сред­ней ошибки, равна примерно ^!/з

Чем больше значение случайной ошибки отдельного измерения, тем меньше вероятность ее появления при прочих равных условиях. Так, напри­мер, вероятность появления отдельной случайной ошибки по абсолютному значению большей средней ошибки равна '/з, большей двукратной средней ошибки — 1/22, большей трехкратной средней ошибки — 1/370, большей четы­рехкратной средней ошибки — 1/15800 и большей пятикратной средней ошибки —1/1 740 000.

Вероятность появления случайной ошибки, лежащей в пределах от

— km до + km, или, что то же, лежащей по абсолютному значению в пре­делах от нуля до 6-кратной средней ошибке, может быть вычислена по фор­муле:

= k ( 1 - + - + + ).

Для этой же цели может быть использована приводимая ниже таблица, содержащая значение вероятности появления случайной ошибки по

Предельная ошибка.За предельную ошибку принимается такое значение случайной ошибки, возникновение ошибок больше которого практически мало вероятно.Обычно предельную ошибку m_пред выражают вели­чиной, кратной средней ошибке,

m_{пред. = K} m,

где k – коэффициент кратности, m – средняя ошибка.

¹ Под вероятностью w понимается отношение а — числа случаев, благоприятствующих появлению данного события, к N — общему числу всех возможных случаев:

.

Вероятность, равная 1 (при a= N), свидетельствует о достоверности по­явления рассматриваемого события. Вероятность, равная 0, свидетельствует о невозможности появления рассматриваемого события.

абсо­лютному значению большей km (табл. 1).

Таблица 1

k =	0,	l,	2,	3,	4,
,0	1,0000	0,3173	0,0455	0,0027	0,000 06
,2	0,8415	0,2301	0,0278	0,0014	0,000 03
,4	0,6872	0,1615	0,0164	0,0007	0,000 02
,6	0,5485	0,1096	0,0093	0,0003	0,000 01
,8	0,2437	0,0718	0,0051	0,0001	0,000001

При принятии за предельную ошибку того или иного значения всегда остается возможность появления случайной ошибки больше принимаемой предельной ошибки. Очевидно, чем большее принять значение k, тем меньше будет вероятность появления ошибки больше предельной. Принимая за пре­дельную ошибку 2т — удвоенную среднюю ошибку, можно ожидать, что в одном случае из 22 наблюдаемых случаев ошибка будет больше прини­маемой предельной. Здесь степень риска, очевидно, сравнительно большая. Принимая за предельную ошибку пятикратную среднюю ошибку — 5m, можно ожидать, что только в одном случае из 1 740 000 может появиться случайная ошибка по абсолютной величине больше предельной. Очевидно, вероятность появления ошибки по абсолютному значению большей пятикратной средней ошибки весьма ничтожна, и вряд ли есть основание принимать за предельную ошибку пятикратную среднюю ошибку.

Вероятность появления случайных ошибок, по абсолютному значению превышающих величину принимаемой предельной ошибки, можно вычислить при помощи таблицы, приведенной в предыдущем параграфе (см. табл. 1), Так, если за предельную ошибку принята двукратная средняя ошибка (коэффициент кратности k=2), то вероятность появления случайных ошибок по абсолютной величине больших принятой предельной ошибки найдем по таблице; для k =2,0 имеем ( )^2m₀ = 0,0455, или это будет состав­лять 4,55 случая из 100 случаев, или примерно 1 случай из 22 случаев

( ~ 22). Если за предельную ошибку принять трехкратную среднюю ошибку, то, соответственно, по таблице получим для k = 3,0 значение вероят­ности (w)³₀^m = 0,0027, что доставит один случай из 370 случаев

( ~ 370) .

За предельную допускаемую ошибку или невязку при производстве маркшейдерских и топографическо-геодезических работ обычно принимается двукратная средняя ошибка m_пред — 2 т. Вероятность появления фактиче­ской ошибки большей двукратной средней составляет 0,0455, или 4,55%. Таким образом, принимая за предельную допускаемую ошибку двукратную среднюю ошибку, мы рискуем на­прасно забраковать 4,55% работ, выполненных с требуемой точно­стью — с заданной средней ошиб­кой m. В то же время, если факти­ческие невязки и не будут превы­шать допустимые невязки (двукрат­ных средних), но по своей абсолют­ной величине большинство из них будет приближаться к предельным допустимым, то это будет свидетель­ствовать о недостаточной точности производства работ и о необходимо­сти более тщательно производить из­мерения. Распределение фактических ошибок (невязок) по абсолютной ве­личине, при значительном количестве их, должно примерно соответство­вать табл. 2.

При решении специальных задач за предельную ожидаемую ошибку при предрасчете точности, производимом для определения методики работ и выбора необходимых инструментов, обычно принимается утроенная средняя ошибка — 3 m.

При этом необходимо учитывать, что, принимая за предельную ожидае­мую ошибку утроенную среднюю, мы допускаем риск в 0,3%, т. е. в трех случаях из тысячи. При предрасчете точности особо ответственных работ за предельную ожидаемую ошибку обычно принимается учетверенная средняя

ошибка, в этом случае риск снижается до 0,006%, т. е. до одного случая из

16 000.

Таблица 2

Абсолютные значения ошибок - -невязок	Число ошибок (невязок)из 100 случаев
От 0 до 0,5 m	38
От 0 до 1 m	68
От 0 до 1,5 m	87
От 0 до 2,0 m	96
Свыше 2m	4
От 0 до 3,0 m	3 из 1000
m – средняя квадратическая ошибка

С р е д няя а р и ф м е т и ч е с к а я ошибка. Для оценки точности произведенных измерений наряду со средней квадратической ошибкой m. иногда применяется, средняя арифметическая ошибка t. Средней арифметической ошибкой t называется среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок :

t = ,

где разность между безошибочным значением и измеренным значением юмеряемой величины;

n — число случайных ошибок, что соответствует числу измерений. Среднюю арифметическую ошибку можно вычислить и по значениям

вероятнейших ошибок v , пользуясь формулой

t =

где v — разность между наиболее вероятным и измеренным значением

измеряемой величины;

n —чиcло вероятнейших ошибок, равное числу всех измерений;

k - число необходимых измерений;

( )— число избыточных (лишних) измерений.

Вероятность появления случайной ошибки по абсолютному значению большей средней арифметической равна 0,5751.

Вероятная ошибка. Наряду со средней квадратической ошибкой m и со средней арифметической ошибкой t, для оценки точности произве­денных измерений иногда применяется вероятная ошибка р. Вероятной ошибкой называется такое значение ошибки, вероятность появления слу­чайной ошибки по абсолютному значению больше или меньше которого равна 1/2, т. е. равновероятно появление случайной ошибки по абсолютному значению больше или меньше вероятной ошибки. Вероятная ошибка по ре­зультатам измерений непосредственно не вычисляется, а выражается через среднюю квадратическую или среднюю арифметическую ошибку.

Связь между средней квадратической, средней ариф­метической и вероятной ошибками. Значения средней квадрати­ческой ошибки m, средней арифметической ошибки t и вероятной ошибки р связаны между собой. Эту связь с практически достаточной точностью можно выразить следующими равенствами:

m=1,25t =1,48p

t = 0,80m= 1,18 p

p= 0,674m =0,845t.

Приведенные равенства справедливы только при большом числе случай­ных ошибок , практически при числе ошибок, большем 10—15.

Ошибка средней ошибки. Средняя квадратическая ошибка m вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов вероятнейших ошибок [vv], деленной на число избыточных измерений г (см. выше, стр. 79). Чем больше число избыточных измерений г, тем точнее получается значе­ние средней квадратической ошибки. Отсюда можно поставить вопрос о средней квадратической погрешности m(m) средней квадратической ошибки m, вычисленной по небольшому числу вероятнейших ошибок. С практически достаточной точностью среднюю квадратическую погрешность средней квадратической ошибки можно

m(m) = = .

Таким образом, при одном избыточном измерении средняя квадратическая ошибка определяется сама со средней ошибкой порядка 71%, при двух избыточных измерениях — с ошибкой порядка 50%, при 10 избыточных измерениях — с ошибкой порядка 23% и т. д. Отсюда следует, что значения средних квадратических ошибок, как правило, вполне достаточно вычислять с двумя значащими цифрами. Средняя квадратическая ошибка средней ариф­метической ошибки т (t) в процентном отношении несколько больше, чем средняя квадратическая ошибка средней квадратической ошибки т (т). Отсюда следует, что при ограниченном числе избыточных измерений средняя квадратическая ошибка m лучше характеризует точность измерений, чем средняя арифметическая ошибка t. квадратической ошибки получено при решении примера 1, с меньшей затра­той труда значение средней квадратической ошибки получено при решении примера 2.

Пример 3. Измерена два раза равноточно длина одной и той же сто­роны теодолитного хода. Получены значения:

l₁ = 54,745; l₂= 54,737.

Найти среднюю ошибку измерения m и среднюю ошибку наиболее ве­роятного значения измеряемой длины М.

Решение. Наиболее вероятное значение измеряемой длины L полу­чится как среднее арифметическое из равноточных измерений

L = = 54,7 + = 54,741.

Вычисление вероятнейших ошибок измерения v:

V₁=l₁-L = = 54,745 — 54,741 = + 0,004;

v₂ = l₂ — L = 54,737 — 54,741 = — 0,004.

Контроль вычисления L и v:

= v₁+v₂= + 0,004 — 0,004 = 0.

Вычисление средней ошибки измерения m.:

m = = 0,001 =

Вычисление средней ошибки наиболее вероятного (уравненного)

зна­чения М,

M = = = 0,0040.

Эту же задачу можно решить иначе, используя разность двойных равно­точных измерений d

d=l₁ — l₂ = 54,745 — 54,737 = 0,008.

Вычисление средней ошибки измерения ш:

m = = = 0,0057.

Вычисление средней ошибки уравненного значения М\ m M = = = = 0,004.

П р и м е р За. Если иметь несколько разностей двойных равноточных измерений одной и той же или нескольких однородных величин, то среднюю ошибку таких измерений можно вычислить по формуле

m = ,

где d — разность двойных равноточных измерений;

п — число двойных равноточных измерений или число разностей.

d₁= 4"; d₂ = ± 6"; d₃=± 2";

m = ±

Если каждая пара измерений выполнена равноточно, но измерения раз­личных пар не равноточны, то средняя ошибка измерения с весом р = 1 будет вычисляться по формуле

m = ,

где p₁, р₂,...,р_n — веса пар равноточных измерений.

d₁= 8 см, р₁=l; d₂= 12 см, р₂= 1,5; d₃= 10 см, р₃ = 0,5.

m₀ = = 7,5 c

Пример 4, Измерены равноточно углы теодолитного хода. Средняя квадратическая ошибка измерения углов теодолитного хода т = 15"-

Найти: а) вероятность того, что случайная ошибка о измерения одного из углов теодолитного хода превысит ; 1",

б) вероятность того, что случайная ошибка измерения одного из углов теодолитного хода превысит 36".

Решение, а) Вычисление коэффициента кратности k;

K = = =1,4.

Используя табл. 1, находим вероятность появления случайной ошибки по абсолютному значению большей km.

При k= 1,4

w = 0,1615 = .

Таким образом, вероятность появления фактической ошибки измерения угла в +21" при средней квадратической ошибке измерения углов 15" составляет 0,1615 или 16%, что соответствует одному случаю из шести слу­чаев.

б) Вычисление коэффициента кратности:

k = = =2,4.

Используя табл. 1, находим вероятность появления случайной ошибки по абсолютному значению большей km.

При k= 2,4

w = 0,0164 = 1,6% = .

Таким образом, появление фактической ошибки измерения угла в 36" при средней квадратической ошибке измерения углов m = 15" составляет 0,164 или 1,6%, что соответствует одному случаю из 61 случая.

Пример 5. Нужно обеспечить с вероятностью 1 : 1000, чтобы — ошибка измерения каждого из углов теодолитного хода не была больше + 30".

Найти, с какой средней квадратической ошибкой m необходимо изме­рять углы теодолитного хода.

Решение. Нахождение коэффициента кратности k для вероятности 0,001 производится по табл. 1.

В таблице имеем: при вероятности 0,0014 k = 3,2, при вероятности 0,0007

k = 3,4. Интерполяцией получаем для вероятности 0,001 k = 3,3.

Затем вычисляем среднюю квадратическую ошибку m:

m = = =

Таким образом, для того, чтобы ошибка измерения каждого из углов теодолитного хода с вероятностью одна тысячная не превзошла величины

₃₀", углы теодолитного хода необходимо измерять по методике, рассчитан­ной на среднюю квадратическую ошибку измерения m = 9".

Пример 6. Одним и тем же наблюдателем, одним и тем же инстру­ментом и при одинаковых условиях измерено пять углов теодолитного хода. Каждый угол измерялся независимо два раза. По разности двойных измере­ний вычислены средние квадратические ошибки:

m₁= ± 5"; m₂ = ± 15"; m₃ = ± 27"; m₄ = ± 10"; m₅ = ± 20".

Найти среднюю квадратическую ошибку измерения углов теодолитного хода m_cр и определить, можно ли считать равноточными произведенные, измерения углов.

Решение. Вычисление средней квадратической ошибки измерения углов теодолитного хода m_cр (принимая произведенные измерения углов равноточными):

m_{cp =} ± m²₁ ⁺ m²_{2 +} m²_{3 +} m²_{4 +} m²_{5 ) / 5}

m_{cp =} ± ( 5² + 15² + 27² + 10² + 20²) / 5 = ± 17”.

Вычисление средней квадратической погрешности m (m) средней квадра­тической ошибки т, полученной по разности двойных измерений (число из­быточных измерений г = 1, необходимо измерить угол один раз, а измерялся каждый угол два раза):

m(m) = ± = ± = ± 12”.

Значения средних квадратических ошибок m₁, m₂,m₃, m₄, m₅ отличаются от значения m_cp в пределах 2т (т) = + 12", 2 = + 24". Следовательно, нет оснований считать произведенные измерения углов нерaвноточными.

Вычисление средней квадратической погрешности средней квадратиче­ской ошибки измерения углов теодолитного хода т (m_ср):

m(m_cp) = ± = 5”.

Пример 7. По расчету получено, что при принятом методе работ средняя _{квадратическая ошибка сбойки, зависящая от ошибок измерения углов, в} интересующем направлении т_р = 15 см. При этом принималось, что средняя квадратическая ошибка измерения углов m = 30".

Найти, с какой точностью (средней квадратической ошибкой т_н) необ­ходимо измерять углы, чтобы с вероятностью w = 0,005 (один случай из 200 случаев) случайная ошибка сбойки не превзошла величины + 10 сл.

Решение. Нахождение коэффициента краткости k, соответствующего вероятности появления случайной ошибки по абсолютному значению боль­шей km производится по табл. 1.

При w = 0,005 к = 2,8.

Вычисление необходимой точности измерения углов, обеспечивающей с вероятностью 0,005. что ошибка сбойки не превзойдет 15 см:

m_{н.15 =} = = 11”.

Вычисления необходимой точности измерения углов (средней квадрати­ческой ошибки m_н), обеспечивающей с вероятностью 0,005, что ошибка сбойки не превзойдет 10 см:

m_н = 10 = 10 =

Пример 8. Имеем двенадцать равноточно измеренных величин n =12; для определения всех искомых элементов необходимо измерить во­семь величин k = 8. В результате уравнивания по способу наименьших квадратов (методом условных уравнений или методом косвенных наблюде­ний безразлично) получены наиболее вероятные значения поправок к изме­ренным величинам.

Сумма квадратов поправок = 124,36.

Найти среднюю квадратическую ошибку измерения m и среднюю

квадратическую ошибку уравненных значений М.

Решение. Вычисление средней квадратической ошибки измерения т:

Так как вероятнейшие ошибки по абсолютному значению равны наибо­лее вероятным поправкам к измеренным величинам, то [vv] = 124,56 равна сумме квадратов вероятнейших ошибок. Число избыточных измерений

m = ± = ± = ± 5,6.Вычисление средней квадратической ошибки уравненных значений М:

М= = ± 5,6 = ± 3,9.

Б. Неравноточные измерения

Понятие о весах. При совместном уравнивании неравноточно из­меренных величин необходимо знать средние ошибки этих измеренных вели­чин. Для упрощения действий при совместном уравнивании неравноточных величин вводится понятие — вес. Весом р называется величина, обратно про­порциональная квадрату средней ошибки.

Если имеем значения неличин l_1, 1₂, средние ошибки этих зна­чений, соответственно, m²₁, m²₂, ...,m²_п. то весами величин l₁, 1₂, .. ., назы­ваются числа р, удовлетворяющие равенствам:

P₁= A/, m²_{1 ;} р_{2 =} A/, m²₂ ; р_{n =} A/, m²_{n .}

где А - произвольное, постоянное число.

Для вычисления весов числу А можно придать любое, произвольное значение, но обязательно одно и то же значение при вычислении весов совместно используемых (уравниваемых) величин. Так же и средние ошибки m₁, m₂,...,m_n совместно уравниваемых однородных величин должны выра­жаться в одних и тех же единицах измерения.

Например, при уравнивании углов средние ошибки всех углов должны быть выражены или в секундах, или в минутах и т. д.; при уравнивания длин средние ошибки всех длин должны быть выражены или в метрах, пли в сантиметрах и т. д.

Веса в извесной мере характеризуют точность измерений, так как чем больше вес, тем точнее известна величина по отношению к другим сов­местно уравниваемым однородным величинам. Если вес p_t измерения в а раз больше веса р₂ измерения l₂, то средняя ошибка m₁ измерения l₁ в меньше средней ошибки т₂ измерения 1₂.

Если р_{1 =} ар_{2 ,} то m_{1 =}

Иногда, не зная средних ошибок неравноточно измеренных величин, можно определить веса этих измеренных величин. Например, измерены два угла l₁ и l₂ .Угол l₁ измерен один раз одним круговым приемом, угод 1₂ измерен два раза независимо, каждый раз одним круговым приемом тем же инструментом и при тех же условиях. За измеренное значение угла 1₂ при­нято среднее арифметическое из двух приемов. Тогда вес угла 1₂ будет в два раза больше, чем вес угла l₁ так как средняя ошибка т₂ угла 1₂ в раз меньше, чем средняя ошибка т₁ угла l₁.

Если т₂ = то p₂ = ap₁.

Вычисление средней квадратической ошибки при неравноточных измерениях. Если дано n неравноточно измерен­ных величин l₁ , l₂…. l_nп и веса этих измерений соответственно равны p₁, p₂….p_n то при совместном уравнивании можно вычислить средние ошибки измерений l₁ ,l₂, ….. ln.. Средняя квадратическая ошибка m_i измерения с весом Pi по результатам совместного уравнивания вычисляется по фор­муле

mi = = .

где v—вероятнейшие ошибки измерений, равные по абсолютному значе­нию поправкам, полученным в результате строгого уравнивания;

n — число всех измеренных величин;

k — число необходимых измерений;

г — число избыточных измерений, г = nп — k,

р — веса измеренных величин;

pi—вес измерения, средняя ошибка которого вычисляется

[pvv] =p₁v²₁ + p₂v²₂ =…. p₂nv²_n.

Для упрощения вычислений вводится понятие — средняя квадратиче­ская ошибка единицы веса m₀, т. е. средняя ошибка такого измерения, фактически может быть и не производившегося, вес которого равен единице

m_{0 =}

Ошибка т₀ является величиной не именованной (не имеющей размерности).

Вычисление средней квадратической ошибки mi измерения с весом рi используя среднюю квадратическую ошибку единицы веса т₀, производят по формуле mi _{= =}

Для случая, когда n раз неравноточно измерена одна и та же величина, уравнивание измерений сводится к взятию общего арифметического сред­него (или, что то же, весового среднего, или общей арифметической сере­дины) из измеренных значений, и ошибка единицы веса будет вычисляться по формуле

m_{0 =}

а ошибка весового среднего будет вычисляться по формуле

mi _{= =}

Для этого случая сумма произведений из вероятнейших ошибок v на соответствующие веса р всегда будет равна нулю. .

[pv] = p₁v₁ + p₂v₂ + …. p_nv_n = 0.

Это может служить контролем вычисления вероятнейших ошибок и кон­тролем вычисления весового среднего.

Неоднородные измерения. При строгом совместном уравнива­нии разнородных измеренных величин, например измеренных длин и углов при уравнивании полигонометрических ходов, неизбежно встает вопрос о вы­числении весов измеренных величин. Разнородные величины по существу не могут быть измерены равноточно уже в силу того, что они разнородны, т. е. измеряются в несравнимых единицах (например, длины измеряются в метрах, сантиметрах и т. д., а углы в градах или градусах, минутах и т. д.).

Веса разнородных измеренных величин, при совместном уравнивании их, вычисляются по обычным формулам, т. е. как величины, обратно пропорцио­нальные квадратам средних ошибок.

При этом безразлично, в каких единицах выражать средние ошибки измеренных величин, например, средние ошибки всех измеренных длин с одинаковым правом можно выражать или в метрах, или в сантиметрах, или в миллиметрах и т. д., а средние ошибки всех измеренных углов — или в секундах, или в минутах и т. д.

Необходимо только коэффициенты и свободные члены условных уравне- ' ний (при уравнивании методом условных уравнений) или уравнений ошибок (при уравнивании методом косвенных наблюдений) выражать в той же си­стеме единиц. При этом вероятнейшие поправки v к измеренным величинам также будут получаться в выбранных единицах. Конечно, постоянное про­извольное число А должно быть принято одним и тем же при вычислении весов всех измеренных величин как углов, так и длин и т. д.

Средняя ошибка единицы веса т₀, вычисляемая в результате уравнива­ния по обычной формуле

m_{0 =}

является величиной не именованной, так же как и при уравнивании одно­родных измерений.

Средняя ошибка измерения с весом р,. получаемая по результатам уравнивания, вычисляется также по обычной формуле

mi _{= =}

и имеет наименование, соответствующее наименованию, принятому при вы­числении веса.

Примеры вычисления средних ошибок при неравноточных

измерениях

Пример 1. Измерен три раза неравноточно один и тот же угол.

Получены значения l₁ = 92° 18' 16", l₂ = 92°18'31", l₃ = 92Ч8'10" и соответ­ственно веса измерения: р₁ = 2, р₂ =1, р₃ = 4.

Найти среднюю ошибку единицы веса т₀; средние ошибки ш_ь от₂, измерений с весами соответственно р₁ = 2, р₂=1, рз = 4; среднюю ошибку весового среднего М.

Решение. Наиболее вероятное значение измеряемого угла получится как весовое среднее из неравноточных измерений:

L = = 92⁰18’ + = 92018’14”,7.

Оглавление

п/п	Наименование	Стр.
1	Краткие сведения из Высшей геодезии	1
2	Практическая астрономия. Задачи практической астрономии	3
3	Картография, общие сведения	3
4	Задачи картографии и типы карт	4
5	Картографические проекции и сетки	7
6	Общая теория искажения	9
7	ГОСУДАРСТВЕННАЯ ОПОРНАЯ СЕТЬ	10
8	Сгущение государственной сети от общего к частному	13
9	Создание маркшейдерско-геодезических сетей методом полигонометрии	14
10	Топогеодезический раздел	17
11	Виды создания опорных геодезических сетей	17
12	Метод триангуляции	17
13	Метод трилатерации	19
14	Метод полигонометрии	19
15	Нивелирные сети	23
16	Приборы для угловых и линейных измерений	28
17	Методы для угловых и линейных измерений	33
18	ТЕОРИЯ ОШИБОК И УРАВНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНЯ	37
19	Неравноточные измерения	53
20	Методы косвенных (посредственных) измерений. Равноточные измерения	84
21	Неравноточные измерения	90
22	Решение нормальных уравнений	91
23	Уравнение триангуляции, применяемые методы	93
24	Метод условных уравнений	94
25	Уравнивание центральной системы в случае измерения углов	98
26	Уравнивание нивелировок. Применяемые методы	106
27	Метод условных уравнений	107
28	Метод последовательных приближений	110
29	Метод косвенных определений	112
30	Уравнивание полигонометрии. Применяемые способы	115
31	Уравнивание одиночного хода приближенным способом	116
32	Уравнивание одиночного хода строгим способом	118
33	Уравнивание системы ходов строгим способом	128

7