![](/user_photo/1642_T3gTB.jpg)
- •Ограниченные и неограниченные вещественные множества. Примеры.
- •Теорема существования точной верхней грани ограниченного множества.
- •Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.
- •Теорема о промежуточной бесконечно малой последовательности.
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
- •Предел числовой последовательности. Примеры.
- •Единственность предела числовой последовательности.
- •Ограниченность сходящейся последовательности.
- •Арифметические свойства пределов последовательностей.
- •Непрерывность обратной функции.
-
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.
Теорема.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство.
-
Теорема о промежуточной бесконечно малой последовательности.
Теорема.
Пусть
и
– две бесконечно малые последовательности
и
– третья последовательность,
удовлетворяющая неравенству
,
тогда
тоже бесконечно малая последовательность.
Доказательство.
-
Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
Теорема.
Пусть последовательность
бесконечно большая, тогда
бесконечно малая.
Доказательство.
-
Предел числовой последовательности. Примеры.
Определение.
Число a называется
пределом последовательности
,
если
.
В этом случае обозначаем
.
-
Единственность предела числовой последовательности.
Теорема.
Последовательность точек расширенной
числовой прямой
может иметь на одной прямой только один
предел.
Доказательство.
По определению предела вне окрестности
U в точке а, в
частности, в окрестности V
точки b, содержится
лишь конечное число членов последовательности
.
Однако точка b
также является её пределом, и потому в
её окрестности V
должны находиться все члены
последовательности
,
начиная с некоторого номера, а
следовательно, бесконечно много её
членов. Получилось противоречие.
-
Ограниченность сходящейся последовательности.
Теорема.
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство.
-
Арифметические свойства пределов последовательностей.
Свойства.
Конечная линейная комбинация сходящихся
последовательностей
также является сходящейся последовательностью,
причём
.
Если последовательности
и
сходятся, то их произведение
также сходится, причём
.
Если последовательности
и
сходятся, для всех номеров n
имеет место неравенство
и
,
то последовательность
сходится, причём
.
-
Лемма об отграниченности последовательности от нуля.
Лемма.
Доказательство.
-
Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
Теорема.
Доказательство.
Следствие.
Доказательство.
-
Теорема о пределе промежуточной последовательности.
Теорема.
Пусть
,
тогда
.
Доказательство.
-
Монотонные последовательности. Предел. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности.
Определение.
Последовательность
называется монотонно возрастающей,
если
.
Последовательность
называется монотонно неубывающей, если
.
Замечание.
Всякая возрастающая последовательность является неубывающей, однако неубывающая последовательность может не быть возрастающей.
Определение.
Последовательность
называется монотонно убывающей, если
.
Последовательность
называется монотонно невозрастающей,
если
.
Замечание.
Всякая убывающая последовательность является невозрастающей, однако невозрастающая последовательность может не быть убывающей.
Теорема.
Если последовательность монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то такая последовательность имеет конечный предел.
Доказательство.
Пусть, например, последовательность
монотонно не убывает и ограничена
сверху.
ограничена сверху
.
не убывает
.
Таким образом
.
-
Число е.
-
Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема.
Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство.
-
Лемма о стягивающихся отрезках.
Определение.
Последовательность отрезков
называется последовательностью вложенных
отрезков, если
.
Лемма.
Пусть
– последовательность вложенных отрезков,
причём длины отрезков
.
Тогда
.
-
Частичные пределы последовательности. Критерий сходимости.
Определение.
Выберем из последовательности
бесконечное число элементов с номерами
.
Получаем новую последовательность
.
Тогда
– подпоследовательность последовательности
.
Частичный предел (конечный или бесконечный,
определённого знака) подпоследовательности
последовательности
называется частичным пределом
последовательности
.
-
Критерий Коши сходимости.
Теорема.
Последовательность
сходится
.
Доказательство.
-
Наибольший и наименьший пределы последовательности. Существование наибольшего (верхнего) предела ограниченной последовательности.
-
Характеристика верхнего предела на … языке.
-
Предел функции в точке. Пример.
Пусть функция
определена в проколотой окрестности
.
Определение 1 (по Каши).
Число b называется пределом
функции
при
,
если
.
Определение 2 (по Гейне).
Число b называется пределом
функции
при
,
если
.
Доказательство эквивалентности.
-
Замечательные пределы.
Первый замечательный предел
.
Доказательство.
Рассмотрим окружность с центром в точке
О, радиуса 1. Проведём ОМ, составляющий
с осью ОХ угол х радиан, где
.
Продолжаем ОМ до пересечения с перпендикуляром к оси ОХ
Заметим, что cosx
и
чётные функции
Второй замечательный предел
.
-
Арифметические свойства пределов функций.
Свойства.
Пусть
и
определены в некоторой
и
,
тогда
Доказательство.
Докажем свойство (1) по определению по Гейне:
Рассмотрим
Тогда по свойствам пределов последовательностей
Т. о.
-
Предельный переход в неравенствах для функций.
Теорема.
Доказательство.
-
Предел промежуточной функции.
Теорема.
Доказательство.
-
Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определению по Гейне.
Пусть функция
определена в проколотой окрестности
.
Определение 1 (по Каши).
Число b называется пределом
функции
при
,
если
.
Определение 2 (по Гейне).
Число b называется пределом
функции
при
,
если
.
Доказательство эквивалентности.
-
Бесконечно малые функции. Таблица бесконечно малых функций.
Пусть функция
определена в проколотой окрестности
.
Определение.
Функция
называется бесконечно малой при
,
если
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
-
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
.
Пусть
.
Возможны три случая:
1.
Тогда функция
– бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
Обозначаем:
Пример
2.
Тогда функции
и
– бесконечно малые одного порядка.
Пример
3.
Тогда функции
и
– эквивалентные бесконечно малые
функции.
Обозначаем:
Пример:
-
Эквивалентные бесконечно малые функции. Раскрытие неопределённости вида
с помощью эквивалентных бесконечно малых.
Теорема.
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
,
тогда
и
– эквивалентные бесконечно малые
функции при
Доказательство.
Раскрытие неопределённости вида
.
-
Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности.
Теорема.
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
,
тогда
и
– эквивалентные бесконечно малые
функции при
– бесконечно малая более высокого
порядка, чем
и
.
Доказательство.
-
Непрерывные функции. Различные определения.
Пусть функция
определена в проколотой окрестности
.
Определение 1.
Определение 2.
Определение 3.
-
Непрерывность элементарных функций
.
-
Арифметические свойства непрерывных функций.
Свойства.
Доказательство.
-
Непрерывность сложной функции.
Теорема.
Доказательство.
-
Теорема о нуле непрерывной функции.
-
Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
-
Первая теорема Вейерштрасса.
-
Вторая теорема Вейерштрасса.
-
Односторонние пределы. Связь с обычным пределом.
Пусть функция
определена на интервале
.
Определение.
Пусть функция
определена на интервале
.
Определение.
Предел функции справа и предел функции слева называются односторонними пределами.
Теорема.
Доказательство.
-
Классификация точек разрыва.
Определение.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
за исключением самой точки a.
Тогда точка а называется точкой
разрыва функции
,
если
не является непрерывной в точке а.
Классификация.
-
Точка a называется точкой разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы
. Если кроме того односторонние пределы совпадают, то точка а называется точкой устранимого разрыва.
-
Точка а называется точкой разрыва II рода, если она не является точкой разрыва I рода.
Примеры:
-
Производная функции. Примеры. Таблица производных.
Определение.
Пример:
Таблица производных.
-
Производная функции. Критерий дифференцируемости.
Теорема.
Доказательство.
Определение.
Главная (линейная) часть дифференцируемой
функции
называется её дифференциалом и
обозначается символом
.
По определению
.
-
Непрерывность дифференцируемой функции.
Утверждение.
Если функция непрерывна, то она дифференцируема.
Доказательство.
-
Правила дифференцирования. Доказательство формулы дифференцирования произведения.
Правила дифференцирования.
Доказательство.
-
Правила дифференцирования. Доказательство формулы дифференцирования частного.
Доказательство.
-
Дифференцирование сложной функции.
Теорема.
Доказательство.
-
Геометрический смысл производной.
-
Дифференциал функции. Связь дифференциала с приращением функции. Применение к приближенным вычислениям.
Применение к приближенным вычислениям.
-
Геометрический смысл дифференциала.
-
Обратные функции. Теорема существования обратной функции.
Определение.
Теорема.
Доказательство.
В силу строгой монотонности любое x
соответствует единственному y
и наоборот. Для строго обоснования
утверждения достаточно установить
взаимную однозначность
Это есть следствие условия строгой
монотонности отображения
.
Доказано, если бы одному y
соответствовало бы два значения
,
то это означало бы, что
,
что противоречит строгой монотонности
функции.