2.3. Уравнения релятивистской баллистики

Если спроектировать в евклидовой плоскости уравнения движения (2.2.7) и энергии ракеты (2.2.8), то получим

, (2.3.1)

, (2.3.2)

, (2.3.3)

. (2.3.4)

Здесь , , .

Проекции записаны вдоль координат кривизн . Для плоского движения, учитывая соотношения

, , (2.3.5)

где , имеем

, (2.3.6)

, (2.3.7)

, (2.3.8)

, (2.3.9)

(2.3.10)

или

, , (2.3.11)

, – угол между касательной к траектории и модулем реактивного ускорения. Наконец

. (2.3.12)

Таким образом, дана полная система уравнений релятивистской баллистики ракеты. В пределе малых скоростей и слабых полей они сводятся к классическим уравнениям баллистики космических ракет в ньютоновском поле.

2.4. Кинематика движения с постоянным реактивным ускорением

Рассмотрим одномерное движение ракеты при пренебрежении гравитационным полем . Тогда получим

, , (2.4.1)

где , – компоненты 4-х скоростей и 4-х ускорений при . Положим, что модуль реактивного ускорения постоянен, . Это означает, что скалярный квадрат должен сохранять свое значение в произвольной системе отсчета

. (2.4.2)

В случае сигнатуры (–+++) по определению

,

( – ковариантное, – контравариантное значение). Тогда

. (2.4.3)

С учетом (2.4.2), после интегрирования (2.4.3) имеем

, , (2.4.4)

но , где – пройденный ракетой путь. Интегрирование (2.4.4) дает

. (2.4.5)

Интегрируя теперь выражение (1) , получим зависимость между собственным временем в ракете и временем внешнего наблюдателя (на Земле)

. (2.4.6)

Выражая из и подставляя в (2.3.5), имеем

. (2.4.7)

Возьмем производную , используя (2.4.)

, (2.4.8)

тогда ;

производную из (2.4.5) , используя (2.4.5)

, (2.4.9)

тогда .

Таким образом, определяется кинематика. Поскольку по определению , то можно определить расход массы в зависимости от бортового времени

, , , . (2.4.10)

2.5. Кинематика движения с постоянной реактивной тягой

Рассмотрим вновь одномерное движение ракеты при постоянной тяге . Исходя по аналогии из выражения (2.4.3), получим уравнение

. (2.5.1)

Но, согласно определению, выражение для тяги есть

, (2.5.2)

где – элемент собственного времени. Интегрируя (2.5.2), получим

. (2.5.3)

Подставляя (2.5.3) в (2.5.1), имеем

,

или

. (2.5.4)

Интегрируя (2.5.4), получим зависимость скорости от времени

. (2.5.5)

Обозначим через выражение, где вновь положим

, , (2.5.6)

тогда

. (2.5.7)

Разложим скорость в ряд Тейлора

. (2.5.8)

Тогда

, . (2.5.9)

Из (2.5.7) следует

, , . (2.5.10)

Итак,

. (2.5.11)

Но , тогда дальность получим из (2.5.11)

. (2.5.12)

Для данного отрезка времени поправка для дальности есть

, (2.5.13)

где

(2.5.14)

и

. (2.5.15)

Запишем теперь условие достижения заданного ускорения (перегрузки ) при движении с постоянной тягой

, (2.5.16)

где .

Условие для времени есть

. (2.5.17)

Соответствующее расстояние есть

. (2.5.18)

2.6. Кинематика движения с постоянной мощностью

Если спроектировать (2.2.4) при на времениподобное направление , то получим выражение для изменения мощности

. (2.6.1)

Инварианты , , определяются на основе лоренцова сложения скоростей. Инвариант определяет изменение тепловой энергии за счет диссипативных процессов. Записывая теперь выражение дефекта массы покоя

, (2.6.2)

прибавляя к (2.6.2) выражение (2.6.1), имеем выражение для мощности в безразмерной форме

. (2.6.3)

Здесь , , , – доля вносимой в ракету усредненной мощности потока внешних частиц, – доля усредненной мощности, передаваемая ракете непотенциальными силами в процессах с выделением джоулева тепла, трением и т.п.; в реальности параметр зависит от функции распределения внешних частиц, взаимодействующих с корпусом ракеты, а – от конкретных процессов в двигательных установках. Для простоты примем и постоянными

, .

Это позволит сделать оценки релятивистских поправок к выражению для мощности. Раскладывая в ряд (2.6.3) по малым величинам , (скорость присоединения), имеем

. (2.6.4)

Тогда

, (2.6.5)

где – нерелятивистское значение мощности. Рассмотрим случай , . Тогда

. . (2.6.6)

Интегрируя (2.6.6), имеем зависимость массы от бортового времени

, . (2.6.7)

С другой стороны, согласно релятивистскому решению Аккарета для массы имеем

. (2.6.8)

Обозначим, как в (2.5.6), выражение

, (2.6.9)

тогда по аналогии

. (2.6.10)

Раскладывая в ряд Тейлора, получим

, (2.6.11)

где ;

. (2.6.12)

Учитывая, что , получим выражение для дальности

. (2.6.13)

Для данного отрезка времени поправка для дальности есть

, (2.6.14)

где

, (2.6.15)

. (2.6.16)

Таким образом, определена кинематика релятивистского движения с постоянной мощностью.