3. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в замкнутой области

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченной замкнутой области (D) поступают следующим образом. Сначала находят стационарные точки M₁, M₂,…, M_k, принадлежащие (D). Затем исследуют сужение функции u = u(x₁; …; x_n) на границе области (D). Пусть , – точки максимума и минимума функции    .   После   этого сравнивают значения и , и и среди этих значений выбирают наибольшее и наименьшее.

4. Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.

1. Исследовать на экстремум функции: 1) ;

2) .

Ответ. 1) в М(0,3) – минимум, ;

2) в – минимум, ; в – максимум, .

2. Исследовать на экстремум функции: 1) при условии ;

2) при условии .

Ответ. 1) – точка условного максимума, ;

2) – точка условного минимума, .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, заданной неравенствами , , .

Ответ. Наименьшее значение ; наибольшее значение .

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике с вершинами A(1,–3), B(1,2), C(4,2), D(4,–3).

Ответ. Наименьшее значение ; наибольшее значение .

5. Задания для самостоятельного решения

1. Исследовать на экстремум функции: 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ. 1) в – минимум, , в – максимум, ;

2) в – минимум, ;

3) в – минимум, ;

4) в – минимум, .

Исследовать на экстремум функции: 1) при условии ;

2) при условии .

Ответ. 1) – точка условного минимума, ;

2) – точка условного минимума, ;

– точка условного максимума, .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, заданной неравенствами , , .

Ответ. Наименьшее значение ; наибольшее значение .

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, заданной неравенствами , , .

Ответ. Наименьшее значение ; наибольшее значение .

II модуль Кратные интегралы Блок №1

1. Двойной интеграл

Пусть функция f(x;y) определена в замкнутой ограниченной области (D)R². Разобьем эту область на частичные области (D₁), (D₂),, (D_n), площади которых равны S₁, S₂,, S_n соответственно. Обозначим через d_k диаметр области (D_k) d_k = sup{MM; M,M(D_k)}. Число называется диаметром разбиения. В каждой частичной области (D_k) возьмем по точке М_k(x_k;y_k). Выражение называется интегральной суммой функции f(x;y) по области (D). Если существует конечный предел интегральных сумм G при 0, предел, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек М_k, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области (D) и обозначается :

При этом говорят, что f(x;y) интегрируема в (D).

Для интегрируемости f(x;y) в ограниченной замкнутой области (D) достаточно, чтобы f(x;y) была непрерывна в (D).

Теорема 1. Если f(x;y), g(x;y) интегрируемы в (D), то k₁f(x;y)+k₂g(x;y) также интегрируема в (D) и при этом

Теорема 2. Если f(x;y) интегрируема в области (D), и пусть площадь множества равна нулю. Тогда

В ычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой области (D) и (D) ограничена непрерывными линиями y = (x), y = (x), x = а, x = b, (x)(x) при а  x  b, то

Правая часть последнего равенства обычно записывается иначе:

И ногда удобно производить внешнее интегрирование по y, внутреннее – по x: если (D) ограничена линиями x = (y), x = (y), y = c, y = d, (y)  (y) при y c,d, то

В случае, если область (D) имеет сложный вид, то ее разбивают на простые подобласти и применяют теорему 2.