Блок №2
1. Нахождение оригинала по изображению
Сверткой
функций-оригиналов
и
называется функция
,
определяемая правилом
.
Свертка функций-оригиналов также является функцией-оригиналом. Операция свертки обладает свойством коммутативности:
.
Теорема 2 (о произведении изображений). Если , , то
.
Теорема 3 (первая теорема разложения). Если функция является аналитической в бесконечно удаленной точке (то есть функция
является
аналитической в нуле),
,
и
,
то оригиналом является функция
.
Теорема
4
(вторая теорема разложения). Если
является дробно-рациональной функцией
и
,
то
является изображением функции
,
где
,
где сумма берется по всем полюсам функции .
2. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Пусть требуется решить задачу Коши
где – кусочно-дифференцируемая функция, имеющая конечный порядок роста. Решение задачи ищется в классе функций-оригиналов.
Пусть
,
.
Применяя к обеим частям уравнения
преобразование Лапласа и пользуясь
свойствами этого преобразования, получим
операторное уравнение
.
Отсюда находим
,
и,
зная
,
находим его оригинал
– решение задачи.
Если , – функции-оригиналы и , , то имеют место равенства (формулы Дюамеля):
Эти формулы применяют при решении задачи Коши со сложной правой частью. Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
(1)
с начальными условиями
, (2)
где – функция-оригинал, . Сначала решается уравнение
(3)
с
теми же начальными условиями (2); пусть
– решение задачи (3)-(2). Сведение уравнений
(1) и (3) к операторным приводит к равенствам
(4)
для (1) и
(5)
для
(3), где
– некоторый многочлен относительно p.
Из (4) выражаем
:
;
(6)
из
(5) находим
.
Подставляя
в (6), получим
.
Наконец, пользуясь формулой Дюамеля, находим
.
3. Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
По данному изображению найти его оригинал:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Решить операционным методом задачу Коши:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
4. Задания для самостоятельного решения
По данному изображению найти его оригинал:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Решить операционным методом задачу Коши:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
; 4)
;
5)
;
6)
.