3. Дифференцирование неявно заданной функции

Пусть функция F(x; y) определена в области (D) и (a; b), (c, d) – проекции (D) на оси 0x и 0y соответственно. Говорят, что уравнение

F(x; y) = 0

в области (D) задаёт неявную функцию y = f(x) , если для любого уравнение имеет единственное решение (это решение и является правилом задания функции: каждому ставится в соответствие решение уравнения F(x; y) =0 ).

Если уравнение F(x; y) = 0 в (D) задаёт неявную функцию , F(x; y) дифференцируема в (D) и , то дифференцируема и

.

Вторая производная находится повторным дифференцированием последнего равенства.

Аналогично определяется неявная функция многих переменных. Пусть функция определена в области и – проекции (D) на n-мерную координатную плоскость и на ось 0u соответственно. Говорят, что уравнение

задаёт в (D) неявную функцию , если для любой точки уравнение имеет единственное решение . Если уравнение в области (D) задаёт неявную функцию , дифференцируема в (D) и всюду в (D), то функция является дифференцируемой и

.

4. Градиент и производная по направлению

Если каждой точке М некоторой области пространства поставлено в соответствие число (скаляр) , то говорят, что задано скалярное поле.

Пусть − единичный вектор, задающий некоторое направление. Производной от функции по направлению называется предел (если он существует)

где вдоль луча, выходящего из точки M₀ по направлению вектора , − длина вектора Пусть функция, непрерывно дифференцируемая в точке M₀,

Тогда

Градиентом скалярного поля φ называется вектор

.

Заметим, что , и поэтому .Отсюда следует, что направление характеризуется тем, что производная в этом направлении будет наибольшей. То есть – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции φ.

5. Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.

1. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Ответ. , .

2. Найти градиент функции и ее производную в точке в направлении от точки М к точке .

Ответ. , .

3. Найти , если , , .

4. Найти , если , .

5. Найти , , если , , .

6. Найти , если , , , .

7. Найти производную неявной функции, заданной уравнением .

8. Найти , для неявной функции, заданной уравнением .

6. Задания для самостоятельного решения

1. Поверхность задана уравнением . Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Ответ. , .

2. Найти производную данной функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси ОХ.

Ответ. .

3. Найти градиент функции в точке , а также его длину и направляющие косинусы.

Ответ. , , .

4. Найти , если , , .

Ответ. .

5. Найти , если , .

Ответ. .

6. Найти , если , .

Ответ. .

7. Найти , , если , , .

Ответ. ;

.

8. Найти , если , , , .

Ответ. .

9. Найти , если , , .

Ответ. .

10. Найти , если , , .

Ответ. .

11. Найти производную неявной функции, заданной уравнением

.

Ответ. .

12. Найти , для неявной функции, определенной уравнением:

1) ; 2) ; 3) .

Ответ. 1) , .

2) , .

3) , .