3. Применение вычетов для вычисления интегралов
1°.
Интегралы
вида
.
Для вычисления таких интегралов
используется подстановка
.
В этом случае отрезок
на числовой прямой переходит в единичную
окружность
комплексной плоскости. Из формулы Эйлера
следует, что
,
.
Кроме того,
,
откуда находим
.
Это приводит нас к равенству
,
и интеграл справа можно вычислить с помощью вычетов.
2°.
Интегралы
вида
,
где
– рациональная функция. Пусть
,
где
и
– многочлены степени m
и n
соответственно и
(в противном случае интеграл расходится);
пусть, наконец,
не имеет действительных нулей. Введем
в рассмотрение функцию комплексного
переменного
,
полученную из
путем замены действительного переменного
x
на комплексное переменное z.
Тогда
.
Заметим,
что должно выполняться условие
.
3°.
Интегралы
вида
,
где
– рациональная функция.
Пусть
требуется вычислить несобственный
интеграл
,
где
и
– многочлены степени m
и n
соответственно,
,
и
не имеет нулей на действительной оси.
Рассмотрим функцию комплексного
переменного
.
Обозначив
,
получим:
.
В
данном случае на m
и n
накладываются менее жесткие ограничения:
для срабатывания метода достаточно
выполнения неравенства
.
Учитывая,
что
,
приходим к равенству
,
или
;
приравнивая затем действительные и мнимые части, получаем равенства
,
.
4. Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия:
Найти изолированные особые точки функции f(z) и определить их тип:
1)
;
2)
;
3)
.
Ответ. 1) УОТ; 2) СОТ; 3) Полюс 4-порядка.
Найти вычеты функции f(z) в изолированных особых точках:
1)
;
2)
;
3)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
.
Вычислить интеграл, используя теорему Коши о вычетах:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Вычислить интеграл, используя вычеты:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
.
5. Задания для самостоятельного решения
Найти изолированные особые точки функции f(z) и определить их тип:
1)
;
2)
;
3)
.
Ответ. 1) УОТ; 2) СОТ; 3) Полюс 3-порядка.
Найти вычеты функции f(z) в изолированных особых точках:
1)
;
2)
;
3)
.
Ответ.
1) 0; 2)
0; 3)
.
Вычислить интеграл, используя теорему Коши о вычетах:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответ.
1)
;
2) 0; 3)
;
4)
;
5) 0; 6)
.
Вычислить интеграл, используя вычеты:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.