2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка называется уравнение вида
где
–
известные функции, y(x)
– искомая функция.
Теорема 2.
Пусть
–
ФСР однородного уравнения и пусть
–
некоторое частное решение неоднородного
уравнения. Тогда общее решение
неоднородного уравнения имеет вид
где
–
произвольные постоянные; другими
словами, общим
решением ЛНДУ является сумма
где
–
общее решение соответствующего
однородного уравнения, а
–
некоторое частное решение неоднородного
уравнения.
Пусть теперь
в уравнении
являются постоянными величинами. Тогда
общее решение однородного уравнения
находим по правилам, изложенным выше,
и задача интегрирования ЛНДУ сводится
к отысканию некоторого частного решения
этого уравнения.
Если в ЛНДУ имеет специальный вид
(*)
или
,
(**)
то удается найти частное решение этого уравнения.
А.
Пусть
имеет вид (*) и число
не является корнем характеристического
уравнения соответствующего однородного
уравнения. Тогда частное решение
ЛНДУ ищется в виде
где
коэффициенты
находятся путем подстановки
в ЛНДУ.
Б. Пусть имеет вид (*) и число является корнем кратности r характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. В этом случае частное решение ищется в виде
В.
Пусть
имеет вид (**) и число
не является корнем характеристического
уравнения. Тогда частное решение
ищется в виде
где
.
Г. Пусть имеет вид (**) и число является корнем кратности r характеристического уравнения. Тогда частное решение
где, как и прежде, .
Отметим теорему, которая бывает полезной при решении ЛНДУ.
Теорема 3. Пусть даны два ЛНДУ
,
,
имеющие
частными решениями
и
соответственно.
Тогда
функция
является частным решением уравнения
3. Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
Решить линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
.
Найти вид частного решения неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Решить задачу Коши:
1)
;
2)
;
3)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
.