4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейное
дифференциальное уравнение первого
порядка имеет вид
.
Для решения этого уравнения пользуются
двумя методами: вариации постоянной и
методом подстановки.
А. Метод
вариации постоянной.
Рассмотрим сначала линейное однородное
уравнение (при котором правая часть
равна нулю)
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными; его общим решением является
.
Будем искать решение исходного уравнения
в виде
,
где
–
неизвестная функция. Имеем
.
Подставляя
в исходное уравнение, получим
,
или
.
Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, в котором неизвестной функцией выступает :
; 
.
Таким образом, решением неоднородного уравнения является
.
Б. Метод
подстановки. Будем
искать решение неоднородного уравнения
в виде
.
Тогда
и уравнение примет вид
,
или
.
(*)
Потребуем,
чтобы выражение в скобках было равно
нулю:
Это
уравнение с разделяющимися переменными;
найдем некоторое частное решение
этого уравнения:
; 
.
Подставим
в формулу (*):
Это дифференциальное уравнение также
является уравнением с разделяющимися
переменными. Пусть
– общее решение последнего уравнения.
Тогда общим решением исходного уравнения
является
.
5. Уравнение Бернулли
Уравнением
Бернулли называется дифференциальное
уравнение вида
где
.
Как
и линейное уравнение, уравнение Бернулли
можно решить с помощью подстановки
.
6. Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия:
Решить дифференциальные уравнения.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Решить задачу Коши:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
7. Задания для самостоятельного решения
Решить дифференциальные уравнения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Решить задачу Коши:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Ответ.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
.
Блок №2
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка называется дифференциальное уравнение вида
где
известные функции,
искомая
функция.
Система
функций
называется линейно-зависимой, если
существуют числа
не все равные нулю и такие, что
Если же последнее равенство возможно
лишь при
то система функций
называется линейно независимой.
Теорема 1.
Пусть
линейно
независимая система решений ЛОДУ. Тогда
общее решение
уравнения имеет вид
где
произвольные постоянные.
Система
линейно независимых решений
ЛОДУ называется фундаментальной
системой решений (ФСР)
уравнения.
В
общем случае найти фундаментальную
систему решений уравнения, а значит и
его общее решение, очень сложно; в
большинстве случаев эта задача
неразрешима. Однако задача заметно
облегчается, если
являются постоянными величинами.
Для решения ЛОДУ с действительными постоянными коэффициентами
составляется характеристическое уравнение
Зная корни характеристического уравнения , можно составить ФСР линейного уравнения.
А. Каждому
действительному простому корню
ставится в соответствие функция
–
частное решение ЛОДУ.
Б. Каждому действительному корню кратности k ставится в соответствие следующий набор из k частных решений:
В. Каждой
паре комплексно-сопряженных простых
корней
ставится в соответствие следующая пара
частных решений:
Г. Каждой
паре комплексно-сопряженных корней
кратности k ставится в соответствие
следующий набор из 2-х частных решений:
;
.
Следуя указанному правилу, строится ФСР исходного уравнения и находится общее решение этого уравнения как линейная комбинация элементов фундаментальной системы решений.