7.1.4.Выбор периода квантования

Из ( 7 .0 ), ( 7 .0 ) видно, что коэффициенты дискретных ММ являются функциями от периода квантования T. Следовательно, свойства дискретных моделей зависят от его величины. При обоснованном выборе величины T дискретная ММ сохраняет все основные свойства непрерывного объекта: динамику, устойчивость, управляемость, наблюдаемость.

Однозначных рекомендаций по выбору оптимального периода квантования для каждого конкретного случая не существует, т. к. связь этой величины с требуемыми свойствами зачастую сложна и не может быть выражена аналитически. В таких случаях T является одним из параметров оптимизации САУ численными методами. Некоторые эмпирические соотношения для выбора периода квантования приведены в [2].

Наиболее общую рекомендацию по выбору периода квантования дает теорема В. А. Котельникова [1] (в зарубежной литературе ее называют теоремой Шеннона [2], или импульсной теоремой [3]):

информация о непрерывном сигнале с ограниченным спектром x(t) не будет потеряна, если период квантования

,

( 7.0 )

где - ширина спектра x(t).

Теорема верна при выполнении двух условий:

1. непрерывный сигнал x(t) обладает финитным спектром, т. е. , если ;

2. на выходе квантователя включен идеальный НЧ-фильтр, имеющий прямоугольную частотную характеристику:

На практике условия теоремы не выполняются: сигналы в сочетании с шумом процесса квантования не могут иметь идеальный финитный спектр, и частотная характеристика фиксатора 0-го порядка также далека от идеальной. Поэтому T из ( 7 .0 ) выбирается значительно меньшим.

Существуют более грубые ограничения T. При переходе к дискретной ММ должны сохраняться исходные свойства объекта: управляемость и устойчивость (или неустойчивость). Проверить это аналитически можно для ММ не выше 2-го порядка, т. к. это требует нахождения корней полиномов. Наиболее простая оценка соответствия моделей: все корни непрерывного объекта должны находиться в основной полосе частот (рис. 7 .2), т. е. для комплексных корней при должно выполняться неравенство , или

.

( 7.0 )

Окончательно можно дать следующие рекомендации по выбору T:

1) для разомкнутых дискретно-непрерывных систем необходимо одновременное выполнение условий ( 7 .0 ) для спектров входного сигнала и помехи и условия ( 7 .0 );

2) для замкнутых систем, кроме выполнения рекомендации 1), необходимо учитывать частотные свойства самого объекта, т. к. ступенчатый сигнал на его входе, имеющий бесконечный спектр, проходит на выход и через обратную связь вновь поступает на вход. Так как в процессе синтеза приходится подбирать параметры ОС, а частотные свойства объекта при его замыкании существенно меняются, то рекомендуется выбрать несколько значений T в интервале [T₁₎, T_ОУ], где T₁₎ - период, выбранный по рекомендации 1), а T_ОУ находится из условия ( 7 .0 ), где ₀ - граничная частота спектра объекта, приближенно определяемая по АЧХ. В процессе анализа полученного закона управления выбирается наибольший период T, удовлетворяющий заданному качеству.