МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра “Автоматизация производственных процессов”

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по курсу

“ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ”

Блок 4

«Анализ и синтез

дискретно-непрерывных систем управления»

Ростов-на-Дону, 2007

Составитель: к.т.н., доц. каф. АПП П.С. Обухов

УДК 681.51(07)

Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу “Теория управления”, “Анализ и синтез дискретно-непрерывных систем управления”/ Ростов н/Д. Издательский центр ДГТУ, 1998.- 25 c.

Являются руководством для выполнения лабораторных работ по дисциплине "Теория управления", ч. 4 “Теория дискретных систем”. Седьмая работа посвящается изучению процесса дискретизации непрерывного динамического объекта и анализу его дискретной математической модели. В восьмой работе выполняется синтез системы автоматического управления этим объектом с использованием различных методов. Методы анализа и синтеза представляют как классическое, так и современное направление теории управления. Выполнение работ ориентировано на использование персональных компьютеров и программного пакета MatLAB. В приложении помещен справочный материал по необходимым функциям пакета и примеры их применения. Указания ориентированы на студентов очной формы обучения по специальностям 2101 “Управление и информатика в технических системах”, 2102 “Автоматизация технологических процессов и производств”, 2103 “Роботы и робототехнические системы”.

Печатается по решению методической комиссии факультета “Автоматизация и информатика”.

Научный редактор: д-р техн. наук, проф. Р. А. Нейдорф.

Рецензент: д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой ТГРТУ А.А.Колесников.

 - Издательский центр ДГТУ, 2007

7.Лабораторная работа

Лабораторная работа № 7

«Анализ дискретной математической модели непрерывного динамического объекта»

7.1.Краткая теория вопроса

7.1.1.Общие сведения

Дискретные системы автоматического управления (САУ), как известно, обладают рядом преимуществ над непрерывными. Вместе с тем, большинство технологических объектов управления (ОУ) являются непрерывными. Совокупность дискретного устройства управления и непрерывного объекта образует дискретно-непрерывную систему. Таким системам присущи все особенности и свойства дискретных систем, но при их проектировании необходимо учитывать свойства непрерывного ОУ, что требует дополнительного анализа.

Для синтеза дискретно-непрерывных систем используется дискретная математическая модель (ММ) непрерывного объекта. Дискретизация выполняется по схеме (рис. 7 .1), на которой показаны квантователи (Кл) и экстраполятор (фиксатор) 0-го порядка (Э). На вход системы подается вектор непрерывного сигнала u(t). Квантователь преобразует его в последовательность -импульсов u[kT] (k=0, 1, …) с периодом следования T. Экстраполятор 0-го порядка формирует из -импульсов ступенчатый сигнал u_Э[kT], который подается на вход непрерывного объекта. Такой способ преобразования сигнала называется амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ), а квантователь с фиксатором - АИ-модулятором. Реакцией объекта на последовательность входных ступенчатых сигналов является вектор непрерывных выходных сигналов y(t), который подвергается дискретизации выходным квантователем, работающим синхронно с входным. Квантованию также подвергается вектор состояния x(t).

Рис. 7.1. Переход к дискретной ММ

7.1.2.Формы математического описания дискретных систем

Дискретные ММ связывают входной сигнал u[kT] с выходом y[kT]. Они имеют три основные формы, аналогичные формам непрерывных ММ: дискретная передаточная функция (ПФ), разностное уравнение «вход-выход» и разностные уравнения в пространстве состояний (ПС).

В основе дискретной передаточной функции используется понятие z-преобразования, которое для непрерывной функции f(t) определяется формулой

.

( 7.0 )

Преобразование ( 7 .0 ) получается из формулы дискретного преобразования Лапласа заменой комплексной переменной s на комплексную переменную z:

.

( 7.0 )

Свойства z-преобразования подробно описаны в [1-3]. Некоторые из них приведены ниже.

1. Линейность:

.

2. Сдвиг во временной области:

;

где n > 0, целое.

3. Теорема о предельных значениях:

, если существует.

, если не имеет полюсов на окружности |z|=1 и вне ее.

Нахождение дискретной ПФ по известной непрерывной ПФ W(s) выполняется следующим образом. Для непрерывной ПФ объекта с АИ-модулятором

,

( 7.0 )

где - ПФ экстраполятора 0-го порядка,

z-преобразование можно представить в виде

.

( 7.0 )

Из ( 7 .0 ) следует, что сначала нужно по формулам [2] или таблицам [1-3] найти z-преобразование от изображения {W(s) / s} (предварительно разложив на сумму простых дробей), а затем умножить его на (1 - z^-1).

Переход к разностному уравнению «вход-выход» от дискретной передаточной функции можно выполнить, используя свойство 2. Для этого числитель и знаменатель ПФ записываются в виде полиномов по степеням z ^-1:

.

( 7.0 )

Отсюда получается разностное уравнение «вход-выход» в обратных разностях, которое удобно записывать для нормированного периода квантования T=1:

.

( 7.0 )

Переход к разностным уравнениям в ПС выполняется при аналитическом решении системы дифференциальных уравнений непрерывной ММ

( 7.0 )

на одном периоде квантования. Общее решение системы ( 7 .0 ) имеет вид

,

( 7.0 )

где - переходная матрица.

Применяя ( 7 .0 ) на отрезке , можно записать следующую систему разностных уравнений

( 7.0 )

где

,

( 7.0 )

с учетом того, что u(t)=const на интервале дискретизации. Матрицы С и D берутся из непрерывной ММ ( 7 .0 ). Если матрица А неособенная, т. е. , то , где I - единичная матрица.

Переход от дискретной ПФ вида

( 7.0 )

к разностым уравнениям ( 7 .0 ) выполняется по той же методике, которая используется для перехода от непрерывной ПФ к системе уравнений в ПС.