6. Многогранные множества.

Определение.

Непустое множество называется многогранным, если оно является пересечением конечного числа замкнутых полупространств, то есть:

( 5.6.0 )

где

- ненулевые векторы,

- скаляры

Многогранное множество замкнуто и выпукло

Так как равенство может быть заменено парой неравенств, то многогранное множество может быть представлено в виде конечного числа равенств и/или неравенств.

Примеры многогранных множеств:

, матрица размерности .

7. Экстремальные точки и экстремальные направления.

Определение.

Пусть - непустое множество, принадлежащее . Вектор называется экстремальной(угловой) точкой множества , если представление

при справедливо только

при .

Пример:

1)

- множество экстремальных точек.

2. .

Любая точка выпуклого множества может быть представлена как выпуклая комбинация экстремальных точек. Это верно для ограниченных множеств.

Если же множество не ограниченно, то не всякая точка этого множества может быть представлена в виде выпуклой комбинации экстремальных точек.

Многогранное множество может быть полностью описано посредством внутреннего представления через его экстремальные точки и экстремальные направления.

Если - ограниченное множество, то оно не содержит экстремальных направлений и любая точка из представляется в виде выпуклой комбинации экстремальных точек.

Если - неограниченное множество, то любая точка из может быть представлена как сумма выпуклой комбинации экстремальных точек и неотрицательной линейной комбинации экстремальных направлений.

Определение.

а) ненулевой вектор называется направлением замкнутого выпуклого множества , если для при .

б) два направления называются различными , если .

в) направление множества называется экстремальным , если оно не может быть представлено в виде положительной линейной комбинации двух различных направлений , если - различны.

Пример.

Рассмотрим множество .

- экстремальные направления.

Определение.

Если , где - матрица размера ранга , то, учитывая структуру множества , вектор является направлением множества тогда и только тогда, когда .

1. Характеристики экстремальных точек и экстремальных направлений.

Теорема 1(о характеристике экстремальных точек ).

Пусть , где - матрица размера ранга , - вектор из . Точка является экстремальной точкой множества тогда и только тогда, когда перестановкой столбцов матрица может быть представлена в виде , так, что

где - невырожденная матрица порядка , удовлетворяющая неравенству

.

Следствие.

Число экстремальных точек множества конечно.

Число экстремальных точек не превосходит величину .

Теорема(существования экстремальных точек ).

Пусть задано непустое множество , где - матрица размера ранга , - вектор из .Тогда имеет по крайней мере одну экстремальную точку.