
- •Выпуклый анализ.
- •Выпуклые множества.
- •Выпуклые оболочки.
- •Отделимость и опорные гиперплоскости.
- •Разделение выпуклого множества и точки.
- •Опорная гиперплоскость к выпуклым множествам.
- •Выпуклые конусы и полярность.
- •Многогранные множества.
- •Экстремальные точки и экстремальные направления.
- •Характеристики экстремальных точек и экстремальных направлений.
- •Экстремальные направления.
-
Выпуклый анализ.
-
Выпуклые множества.
-
Понятие выпуклости играет важную роль в изучении задач оптимизации.
Определение 1.
Непустое множество
из
,
называется выпуклым, если отрезок
прямой, соединяющий любые точки множества
,
также принадлежит этому множеству.
То есть если
Точка вида
называется выпуклой комбинацией точек
.
выпуклое множество
невыпуклое множество
Примеры выпуклых множеств:
-
- плоскость в
. (
- вектор;
- координаты).
В
:
В общем случае множество
,
- гиперплоскость.
где
-
скалярное произведение
.
- вектор-нормаль к
гиперплоскости,
- мерный вектор
.
- скаляр.
2)
- полупространство в
.
Примеры в пространстве R2.
3)
- многогранное множество, где
- матрица размерности
;
- вектор размерности
.
В
:
-
- выпуклый конус в R2.
5)
- круг с радиусом
и центром
.
Следствие определения выпуклого множества.
Лемма 1.
(теорема, необходимая для доказательства другой теоремы).
пусть
и
- выпуклые множества в
,
тогда выпуклы и следующие множества:
-
- пересечение множеств;
-
- алгебраическая сумма;
-
.
-
Выпуклые оболочки.
Определение 2.
Выпуклой оболочкой
произвольного множества
называется совокупность всех выпуклых
комбинаций точек из
.
То есть
тогда и только тогда, когда она может
быть представлена в виде
,
,
,
где
- положительное целое число,
Примеры:
Замечание:
в каждом случае
является наименьшим выпуклым множеством,
содержащим
.
Лемма 2.
Пусть
- произвольное множество из
.
Тогда
- наименьшее выпуклое множество,
содержащее
.
Фактически,
является
пересечением всех выпуклых множеств,
содержащих
.
Определение 3.
Выпуклая оболочка
конечного числа точек
называется многогранником.
Определение 4.
Если векторы
линейно независимы, то выпуклая оболочка
называется
симплексом с вершинами в точках
.
Заметим, что максимальное
число линейно независимых векторов в
равно
и, следовательно, не может быть симплекса
в
,
у которого более, чем
вершина.
-
Отделимость и опорные гиперплоскости.
Понятие опорной гиперплоскости и отделимости для непересекающихся выпуклых множеств играет очень важную роль в теории оптимизации.
Определение 5.
Совокупность всех
точек видаобразуют
гиперплоскость в
,
где
- ненулевой вектор, принадлежащий
;
- скаляр.
Гиперплоскость
задает два замкнутых
полупространства
и
и два открытых полупространства:
и
Определение 6.
Пусть
и
- непустые множества в
.
Гиперплоскость
разделяет
и
,
если
и
.
Разделения различают:
-
собственная разделимость
Пример:
-
несобственная разделимость
Пример:
-
строгая разделимость
Пример:
-
сильная разделимость
Пример: