45

5. Выпуклый анализ.

   1. Выпуклые множества.

Понятие выпуклости играет важную роль в изучении задач оптимизации.

Определение 1.

Непустое множество из , называется выпуклым, если отрезок прямой, соединяющий любые точки множества , также принадлежит этому множеству.

То есть если

Точка вида называется выпуклой комбинацией точек .

выпуклое множество

невыпуклое множество

Примеры выпуклых множеств:

1. - плоскость в . ( - вектор; - координаты).

В :

В общем случае множество ,

- гиперплоскость.

где - скалярное произведение .

- вектор-нормаль к гиперплоскости, - мерный вектор .

- скаляр.

2) - полупространство в .

Примеры в пространстве R².

3) - многогранное множество, где

- матрица размерности ;

- вектор размерности .

В :

4. - выпуклый конус в R².

5) - круг с радиусом и центром .

Следствие определения выпуклого множества.

Лемма 1.

(теорема, необходимая для доказательства другой теоремы).

пусть и - выпуклые множества в , тогда выпуклы и следующие множества:

1. - пересечение множеств;

2. - алгебраическая сумма;

3. .

2. Выпуклые оболочки.

Определение 2.

Выпуклой оболочкой произвольного множества называется совокупность всех выпуклых комбинаций точек из .

То есть тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде

, , ,

где - положительное целое число,

Примеры:

Замечание:

в каждом случае является наименьшим выпуклым множеством, содержащим .

Лемма 2.

Пусть - произвольное множество из . Тогда - наименьшее выпуклое множество, содержащее .

Фактически, является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих .

Определение 3.

Выпуклая оболочка конечного числа точек называется многогранником.

Определение 4.

Если векторы линейно независимы, то выпуклая оболочка называется симплексом с вершинами в точках .

Заметим, что максимальное число линейно независимых векторов в равно и, следовательно, не может быть симплекса в , у которого более, чем вершина.

1. Отделимость и опорные гиперплоскости.

Понятие опорной гиперплоскости и отделимости для непересекающихся выпуклых множеств играет очень важную роль в теории оптимизации.

Определение 5.

Совокупность всех точек видаобразуют гиперплоскость в ,

где - ненулевой вектор, принадлежащий ;

- скаляр.

Гиперплоскость задает два замкнутых полупространства

и

и два открытых полупространства:

и

Определение 6.

Пусть и - непустые множества в . Гиперплоскость разделяет и , если

и .

Разделения различают:

1. собственная разделимость 

Пример:

2. несобственная разделимость 

Пример:

1. строгая разделимость 

Пример:

2. сильная разделимость 

Пример: