1.4.2 Методы расчета размерных цепей

Размерные цепи являются одной из разновидностей связей, действующих в машине и производственном процессе ее изготовления. Поэтому все теоретические положения о связях распространяются на размерные цепи в той же мере, как и на другие виды связей.

Количественную связь замыкающего звена А_Δ с составляющими звеньями А_i отражает уравнение размерной цепи:

А_Δ = f(A₁, A₂, A₃, …, A_m-1)

Из схемы плоской размерной цепи А с параллельными звеньями (рис. 7) видно, что номинальное значение замыкающего звена А_Δ равно алгебраической сумме номинальных значений составляющих звеньев, в которой увеличивающие звенья имеют знак "+", а уменьшающие – знак "–":

A_Δ = – A₁ + A₂ + A₃ – A₄

Рисунок 7 – Плоская размерная цепь с параллельными звеньями

Влияние составляющих звеньев на замыкающее звено можно учесть в уравнении размерной цепи с помощью передаточных отношений. Это дает возможность записать уравнение размерной цепи в общем виде:

где i = 1, 2, …;

m – 1 – порядковый номер составляющего звена;

ξ_Ai – передаточное отношение i-го составляющего звена; для плоских размерных цепей с параллельными звеньями;

ξ_i = 1 для увеличивающих составляющих звеньев,

ξ_i = –1 для уменьшающих составляющих звеньев.

Согласно количественной связи средних значений функции и аргументов, рассмотренных выше, среднее значение замыкающего звена может быть определено:

Для рассматриваемой размерной цепи (рис. 7), уравнение будет показано выглядеть так:

Но среднее допустимое значение любой величины может быть выражено через ее номинальное значение и координату середины поля допуска: , поэтому:

Вычитая из этого уравнения уравнение номиналов размерной цепи A_Δ = – A₁ + A₂ + A₃ – A₄ получим уравнение координат середин полей допусков:

Координата середины поля допуска замыкающего звена плоской размерной цепи с параллельными звеньями равна алгебраической сумме координат середин полей допусков составляющих звеньев с учетом их собственных знаков, т.е.

или

Все рассуждения, касающиеся координат середин полей допусков, в полной мере распространяются и на координаты середин полей рассеяния ω_i. Поэтому по аналогии будем иметь

или

При расчетах полей допусков или полей рассеяния могут быть использованы два метода:

• расчет на максимум-минимум;

• вероятностный расчет.

Метод расчета на максимум-минимум

Метод расчета на максимум-минимум учитывает только предельные отклонения звеньев размерной цепи и самые неблагоприятные их сочетания. Например, в размерной цепи A, показанной на рис. 8, A_Δ = – A₁ + A₂, предельные отклонения замыкающего звена будут при следующих сочетаниях предельных отклонений составляющих звеньев:

Вычитая почленно из первого равенства второе, получим

Но разность верхнего и нижнего предельных отклонений какой-то величины есть поле допуска, в пределах которого допустимы ее отклонения, поэтому

Это положение действительно и для размерных цепей с числом составляющих звеньев m – 1, что дает право записать формулу в общем виде:

где m – 1 – число составляющих звеньев в размерной цепи.

Рисунок 8 – Размерная цепь и допуски, ограничивающие отклонения ее звеньев

При суммировании допусков учитывают абсолютные значения передаточных отношений, поскольку значения полей допусков всегда положительны. Это значит, что для плоских размерных цепей с параллельными звеньями

так как |ξ_i| = 1.

Таким образом, поле допуска замыкающего звена плоской размерной цепи с параллельными звеньями равно сумме абсолютных значений полей допусков всех составляющих звеньев.

Формула, учитывающая связь поля рассеяния значений замыкающего звена (его отклонений) с полями рассеяния значений составляющих звеньев (их отклонений), может быть получена путем аналогичных рассуждений. Таким образом, поле рассеяния замыкающего звена может быть определено:

для плоских размерных цепей с параллельными звеньями