Практическая работа №3. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Решение задач на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Цель работы. Отработать навыки применения определенных интегралов при решении прикладных задач. Сформировать умение применять формулы комбинаторики в решении задач на вычисление вероятности.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.

2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3. Сделайте выводы по результатам работы

Вариант 1.

Задание1. Вычислить определенный интеграл

Решение:

Задание 2.Вычислить с помощью замены переменной

 

Решение:

Положим t=2-х². Тогда dt=d(2-х²)=(2-х²)'dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0²=2, и если х=1, то t=2-1²=1. Следовательно:

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций   и  .

Решение.

Найдем координаты точек пересечения кривых .

      

Данная область ограничивается сверху параболой  , а снизу - прямой линией  . Следовательно, площадь этой области равна

      

Задание 4. Скорость движения тела задана уравнением   . Найти путь, пройденный телом за 2 секунды от начала движения.

Решение: путь   , пройденный телом за отрезок времени от   до   , движущимся прямолинейно со скоростью   , вычисляется по формуле:    Тогда, используя условие, имеем: 

Задание 5. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?

Решение.

Элементарными исходами здесь являются наборы, включающие 3 фрукта. Поскольку порядок фруктов безразличен, будем считать их выбор неупорядоченным (и бесповторным). Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 фрукта из 9, т.е. числу сочетаний . Число благоприятствующих исходов равно числу способов выбора 3 апельсинов из имеющихся 5, т.е. . Тогда искомая вероятность

.

Вывод. В ходе выполнения данной практической работы, я научился вычислять определенные интегралы различными методами, закрепил навыки применения определенного интеграла в прикладных задачах. Сформировал навыки применения формул комбинаторики при решении задач по теории вероятностей.

Практическая работа №3. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Решение задач на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Цель работы. Отработать навыки применения определенных интегралов при решении прикладных задач. Сформировать умение применять формулы комбинаторики в решении задач на вычисление вероятности.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.П.

2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3. Сделайте выводы по результатам работы

Вариант 2.

Задание 1. Вычислить определённый интеграл

Решение:

Задание 2.Вычислить с помощью замены переменной

.

Решение:

Воспользуемся заменой переменной  . Тогда   и  . Если х=0, то t=1 и, если х=5, то t=4. Выполняя замену, получим:

Задание 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми   и  .

Решение.

П остроим графики кривых.

Определим точки пересечения двух кривых:

      

Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна

      

Задание 4. Скорость движения тела задана уравнением   . Найти путь, пройденный телом за время от второй секунды до шестой секунды движения.

Решение: путь   , пройденный телом за отрезок времени от   до   , движущимся прямолинейно со скоростью   , вычисляется по формуле:   . Тогда, используя условие, имеем: 

Задание 5. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение.

Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2.

Их число равно

Вывод. В ходе выполнения данной практической работы, я научился вычислять определенные интегралы различными методами, закрепил навыки применения определенного интеграла в прикладных задачах. Сформировал навыки применения формул комбинаторики при решении задач по теории вероятностей.

Практическая работа №3. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Решение задач на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Цель работы. Отработать навыки применения определенных интегралов при решении прикладных задач. Сформировать умение применять формулы комбинаторики в решении задач на вычисление вероятности.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.П.

2. Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.

3. Сделайте выводы по результатам работы

Вариант 3

Задание 1. Вычислить определённый интеграл

Решение:

Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Задание 2. Вычислить методом замены переменной

 

Решение:

Положим t=e^x. Тогда x=lnt, dx=dt/t и, если x=ln2, то t=2, если х=ln3, то t=3. Выполняя замену, получаем:

Задание 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную параболами.

Р ешение:

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений: .

Решаем полученное квадратное уравнение:

.

Вычисление площади фигуры осуществляем по формуле , где - кривые, ограничивающие фигуру .

В нашем случае (кв. ед.)

Задание 4. Скорость движения тела задана уравнением   Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения.

Решение: путь   , пройденный телом за отрезок времени от   до   , движущимся прямолинейно со скоростью   , вычисляется по формуле:   . Тогда, используя условие, имеем: 

Задание 5. . Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?

Решение.

Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, при этом фактически все семь мест в этом числе делятся на три группы: на одни места ставится цифра «4», на другие места – цифра «5», а на третьи места – цифра «6». Таким образом, множество состоит из 7 элементов (n=7), причем n₁=3, n₂=2, n₃=2, и, следовательно, количество таких чисел равно

Вывод. В ходе выполнения данной практической работы, я научился вычислять определенные интегралы различными методами, закрепил навыки применения определенного интеграла в прикладных задачах. Сформировал навыки применения формул комбинаторики при решении задач по теории вероятностей.

Практическая работа №3. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач. Решение задач на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Цель работы. Отработать навыки применения определенных интегралов при решении прикладных задач. Сформировать умение применять формулы комбинаторики в решении задач на вычисление вероятности.

Порядок выполнения работы: