3.1. Затухающие колебания

В 1910 г. Альфред Д. Лотка рассмотрел следующую цепочку химиче­ских реакций

_AJ^X ^Y ^В. (3.1)

Молекулы вещества А имеются в избытке и превращаются в молекулы вещества X с постоянной скоростью ко. Вещество X превращается в ве­щество Y со скоростью тем большей, чем больше концентрации X и Y. Вещество Y необратимо распадается на В. Для анализа этой химической Р*®ВДи воспользуемся следующим правилом

Скорость химической реакции при постоянной температуре пропорциональна произведению концентраций веществ, участ­вующих в данный момент реакции

.

Обозначив х, у, Ь концентрации веществ X, Y, В, получаем следующие кинетические уравнения

ко — k\xy, = kixy - k₂y,

dx ~dt dy dt

(3.2)

db , ш ^{= k2V}■

Первые два уравнения системы не зависят от Ь и их можно рассматривать отдельно. Найдем особые точки этой нелинейной динамической системы.

J fco - hху = О,

kixy - к₂у = 0.

1

Из первого уравнения системы находим, что х имеет экстремумы на гиперболе у = ko/(kix). Из второго уравнения получаем, что либо у = О, либо х — k₂/ki. Первая ситуация не представляет интереса, так как про­тиворечит условиям модели, поэтому подробно рассмотрим только вторую; возможность. Особая точка имеет координаты х — к₂/к\ и у = fco/fcv Введем новые переменные.

ко ко

У = У-

*г

и X = х-

= ах + by, 22

(3.3)

dt k₂

fc₂ Л

ко

(3.4)

Характеристическое уравнение системы (3.3) fcifco

+ A

= + ^ Х + кгко^О

fcifco fc₂

имеет корн

и

(3.5)

^л1,2 = 7)

4Fcjfc2

fcpfci , /fepfci ' fc₂ V ^fc2

Возможны следующие ситуации: если подкоренное выражение отри­цательное, то корни будут комплексно сопряженными и, следовательно, особая точка — устойчивый фокус; если подкоренное выражение положи­тельно, то мы имеем два действительных разных отрицательных корня, то есть особая точка — устойчивый узел. Для уточнения характера поведе­ния фазовых траекторий заметим, что особый случай у = 0 соответствует положительной производной х, то есть положительное направление оси х соответствует направлению фазовых траекторий. Фазовый портрет си­стемы представлен на рис. 3.1.

h

3.2. Незатухающие колебания

(3.6)

В 1925 г. А. Д. Лотка рассмотрел еще одну цепочку химических р_е. акций

А + Х	kii	2Х,
X + Y	к2>	2 У,
У	к3)	В.

реакции можно пренебречь. Все реакции необратимые.

Этой цепочке превращений соответствует следующая система диффе­ренциальных уравнений

~ = к\ах — к₂ху,

= ах + by, 22

Введем обозначения х\ + = R², тогда

Теперь умножим первое уравнение системы (4.1) на Х2, а второе — на х\. Вычтем из второго уравнения первое

Xi&2 — Х2Х1 — х\+х\— R.

Поскольку

tg© = —,

XI

то дифференцируя это выражение получаем

таким образом

© Х2%1 — Х1Х2

cos² © х\

Но

COS² ©

ju2 "f"

Xi±2 — £2^1

0 =

Отвда © = 1.

Фактически, мы совершили переход к полярным координатам¹. Все точки R -—1 соответствуют нулевому значения производной, поэтому мы вправе назвать окружность единичного радиуса особой траекторией. Движение по этой окружности происходит с постоянной угловой скоро- стЦ> 6 = 1. Окружность R = 1 делит фазовую плоскость на две части. Во айешней части R < 0, то есть фазовые траектории приближаются к окружности извне. Во внутренней области (R < 1) R > 0, то есть фазо- ^gjtpaeKTopHH раскручиваются от центра, приближаясь к окружности.

образом, с течением времени все фазовые траектории неограни- ^jjjf приближаются к окружности единичного радиуса, портрет системы представлен на рис. 4.1. ^«уамср 1.2. Система с неустойчивым предельным циклом, '^смотрим еще один пример.

^{к Пол}ярным координатам часто используется для доказательства существова­ло цикла. Тем не менее, для многих систем такой переход не позволяет найти Никл.

г = г (г — 1)(г — 2),

1.

Здесь г и в — полярные координаты. Очевидно, что система имеет две особые траектории. Это окружности радиуса 1 и 2. На этих окружностях г = 0. Кроме того, в различных областях производная имеет различные знаки:

г > О, если г > 2, г < О, если 1 < г < 2, г > 0, если г < 1.

То есть фазовые траектории приближаются от начала координат к единич­ной окружности, удаляются от окружности радиуса 2 на бесконечность либо к окружности меньшего радиуса (рис. 4.2). Таким образом, внешняя окружность является неустойчивым предельным циклом, а внутренняя - устойчивым.

2

Рис. 4.1. Фазовый портрет системы с устойчивым предельным циклом

х2

xl

Пример 1.3. Полуустойчивый предельный цикл.

Рассмотрим еще одну систему, для которой легко доказать существо­вание предельного цикла.

г = г(г - I)², 0 = 1.

Ри<?. 4.2. Фазовый портрет системы с двумя предельными циклами. Внут­ренний цикл устойчивый, внешний неустойчивый

Здесь вновь г и в — полярные координаты. Производная г обращается в ноль при г — 1 и положительна в остальных точках плоскости.

■ г > 0, если г > 1,

г > 0, если 0 < г < 1.

Vi

Таким

образом, фазовые траектории приближаются к окружности еди­ничного радиуса изнутри и удаляются от нее с наружи (рис. 4.3).

Классификация предельных циклов

' I ,

ряде физических, химических, биологических и других систем мо- .возникать незатухающие колебания, амплитуда и период которых не ят от начальных условий. Во всяком случае, изменение начальных в широких пределах не оказывает влияния на характер колеба-

фазовой плоскости автоколебаниям соответствуют предельный замкнутая траектория, на которую наматываются все фазовые "ории из некоторой окрестности. Таким образом, предельный цикл аттрактором. Однако, в отличие, например, от фокуса, это не 'Ванная особая точка, а изолированная особая траектория.

Рис. 4.3. Фазовый портрет системы с полуустойчивым предельным цщ| лом

Различают устойчивые предельные циклы, когда все фазовые траек тории из некоторой трубчатой окрестности стремятся к нему при t —> +« (рис. 4.1), ,то есть фазовые траектории наматываются на предельный цши с двух сторон; неустойчивые предельные циклы, когда все фазовые тра ектории стремятся к предельному циклу при t —оо, то есть фазовь» траектории сматываются с предельного цикла (рис.4.2); полуустойчивьи когда с одной стороны фазовые траектории наматываются на пределы: цикл (стремятся к нему при £ —> +оо), а с другой стороны сматываю^ ; (стремятся к предельному циклу при t —* -оо) (рис.4.3).