1.4. Сводка результатов

Тип особой точки автономной линейной системы (1.29) определяется характеристическим уравнением (1.31).

I. Корни вещественные, различные и одного знака (0 < detM < (ТгМ/2)²): уравнение (1.43) определяет семейство парабол. Если корни характеристического уравнения положительны, то решения будут неограниченно возрастать и фазовые траектории будут ухо­дить на бесконечность. В случае отрицательных корней решения с ростом времени будут неограниченно уменьшаться, фазовые траек­тории стремятся к нулю.

(а) Корни положительные (Tr М < 0): особая точка — устойчивый

узел.

(1.51)

(Ь) Корни отрицательные (ТгМ > 0): особая точка — неустойчи­вый узел

.

2. Корни вещественные, одинаковые и отличны от нуля: особая точ­ка — или вырожденный узел или дикритический (звездный) узел. Дикритический узел возможен только в случае

dy ay dx ах

3. Корни вещественные, различные и разных знаков (detM < 0): урав­нение (1.43) определяет семейство гипербол, особая точка — седло.

4. Корни комплексно сопряженные (но не чисто мнимые) (detM > (ТгМ/2)²).

   1. действительная часть отрицательная (ТгМ < 0): особая точ­ка — устойчивый фокус;

   2. действительная часть положительная (ТгМ > 0): особая точ­ка — неустойчивый фокус.

5. Корни чисто мнимые (Тг М = 0, detM > 0): особая точка — центр.

6. Один из корней равен нулю: особые точки полностью заполняют одну из координатных осей.

Эти правила удобно представить в виде рисунка (1.7).

Для анализа нелинейной системы проводят ее линеаризацию. Для этого

1. Определяют особые точки системы.

2. Вблизи особых точек заменой переменных приводят исходную си­стему к виду

— = ax + by + p(x,y), = сх 4- dy + q (х, у).

Причем

= 0,

если (хо,уо) — особая точка.

3. Ограничиваются учетом только линейных слагаемых.

устойч ibie

узлы

центры

узлы

>

ТгМ

седла

Рис. 1.7. Вид особой точки при различных значениях определителя и сле­да матрицы системы уравнений

4. Определяют тип особых точек линеаризованной системы. Характер особых точек линеаризованной и исходной систем совпадает, кроме следующих случаев:

1. если особая точка линеаризованной системы — центр, то осо­бая точка исходной системы либо центр, либо фокус;

если хотя бы один из корней линеаризованной системы равен нулю, то для анализа особой точки исходной системы требует­ся дополнительное исследование

.

Глава 2

Динамика биологических популяций

Популяционная динамика — один из разделов математического мо­делирования, имеющий приложения в биологии, экономике, демографии, экономике. Здесь имеется несколько базовых моделей, изучением кото­рых мы и займемся.

2.1. Модель Мальтуса

Рассмотрим некоторый биологический вид, у которого нет врагов, а кормовая база имеется в избытке. Обозначим численность вида х. Тогда скорость прироста (изменение числа особей в единицу времени) ^ будет пропорциональна числу уже имеющихся особей.

dx

- = at, (2.0

где а > 0 — коэффициент прироста. Понятно, что эта модель является весьма упрощенной. Во-первых, число особей — дискретная, а не непре^- рывная величина, то есть модель применима только тогда, когда изм^р-' нение численности популяции на одну особь можно рассматривать ка>' бесконечно малое. Во-вторых, рост популяции всегда ограничен разли⁴' ными факторами: врагами, кормовой базой, эпидемиями и т.д. Однако, ⁶ некоторых случаях, например, при рассмотрении размножения бактерий-

IP

■Щ

эта модель оказывается вполне приемлемой. Впервые она была предло­га в XVIII веке Мальтусом, и часто называется по имени создателя моделью Мальтуса.

Уравнение (2.1) — уравнение с разделяющимися переменными. Его интегрирование дает

х = x₀e^at, (2.2)

где %о — численность популяции в начальный момент времени.