1.3. Качественное исследование динамических систем

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений I порядка

f (1.28)

Ограничимся рассмотрением только стационарных (автономных) си­стем, то есть систем, в которых Р и Q не зависят явно от времени. В простейшем случае Р и Q — линейные функции:

dx

• = ах + by,

7 (1.29)

• = сх + dy. at

Особыми точками системы (1.28) называются точки, в которых и Р ^и Q обращаются одновременно в ноль.

Рис. 1.6. Фазовый портрет маятника с затуханием

. Очевидно, что система (1.29) имеет единственную особую точку — (°>0). Будем искать решение системы (1.29) в виде х = Ae^xt, у = Ве^м.

Подставив решения в систему (1.29) и сократив на постоянный множи

(а - Х)А + ЪВ =г. О,

(1.30)

сА+ (d — Х)В = 0.

Система (1.30) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю

А² - (а + d)A + ad-bc = 0. (1.31)

Уравнение (1.31) называется характеристическим. Его решения —

a + d /(a + df . TVM //ТгМ\ ²

х

(1.32)

(1.33)

Здесь M — матрица коэффициентов системы (1.29). Если корни харак­теристического уравнения различны и не равны нулю (Ai ^ А2 ф 0), тс решения имеют вид

- C_ie^Alf + C₂e^X2t,

y = C_aXie^Alt + C_2X2e^A2t. Заменой переменных можно свести систему (1.29) к системе

dx

л ⁼

^dy я

или дифференциальному уравнению

dy S₂y dx Six'

где

x ax + /Зу, у = -ух + 6у.

(1.36)

Постоянные а, (3, 7, 5 находятся следующим образом: продифферен цируем систему уравнений (1.35)

(й _ dx ^ pdy

dt dt dt'

dy_ _ dx gdy

тель e^xt, имеем

dt dt dt

и подставим вместо dx/dt и dy/dt их выражения из системы (1.29)

(1.37)

dy

(1.38)

— = 7 (ах + by) + д(сх + dy).

Учтя систему (1.33), имеем

а(ах + by) + (3(сх + dy) = Si (ах + (Зу), 'у (ах + by) + д(сх + dy) = S₂(jx + 6y).

Равенство должно выполняться при всех хну, следовательно, коэф­фициенты при переменных в левой и правой части уравнения должны совпадать.

f(a-Si)a + c/? = 0, <(a-S₂)j + c6 = 0, \ ba + (d - S_r)0 = 0, \bj+(d-S₂)6 = 0. '

Мы получили системы линейных однородных уравнений относительно а, 0, 7, 5. Система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, то есть коэффициенты Si должны удовлетворять уравнению

(a~Si)(d-Si)-bc= 0, (1.40)

которое совпадает с уравнением (1.31). Таким образом, Si являются кор­нями характеристического уравнения (1.31), то есть Si = Ai, £2 = А₂■ При этом а² + /З² > 0. 7² + 5² > 0. Первая из систем (1.39) дает отношение

р Ai — а о

вторая —

7 с А ₂ - d

(1.42)

8 \₂ — a b Решение уравнения (1.34) имеет вид

у = С^,|®|^ЛаАз. (1.43)

dx

— = а(ах + by) + (3(сх + dy),

-.■.■■ .В случае действительных корней уравнение (1.43) определяет в зави­симости от знака показателя степени или семейство парабол или семей- ***> гипербол.

Аффинные преобразования (1.35) не меняют характера особой точ­ки. Замена переменных приводит только к масштабированию и повороту координатных осей. Определим новое положение осей после аффинно­го преобразования в случае действительных корней характеристического уравнения. Если х = 0, то из первого уравнения системы (1.35) следует, что у = —ах/(3. При у — 0 из второго уравнения системы находим, что у = —"fx/д. Угловые коэффициенты выражаются через параметры исход­ной системы в соответствии с формулами (1.41) и (1.42).

(1.45)

В случае комплексных корней новые переменные хну будут ком­плексными. Пусть Ai — R + И, А2 = R — И, х = u + iv, у = и — iv, где R, I, и, v — действительные величины. Тогда система уравнений (1.33) запишется в виде

du .dv , „ . . .

(1.44)

Откуда

du

• = uR — vl, at

dv _

• = «Д + ttJ. dt

Тогда уравнение интегральных кривых имеет вид

(1.46)

dv vR 4- ul du uR — vl'

После перехода к полярным координатам и — rcostp, v = г sin ip получаем уравнение логарифмической спирали

r = Cexp^jv>^. (1.47)

В случае чисто мнимых корней уравнение (1.47) переходит в уравне­ние окружности г = С.

Если корни характеристического уравнения кратные Ai = Аг = А, то заменой переменных

b — с

х = ах н —у, у = у (1.48)система может быть приведена к виду

(1.49)

(1.50

)

у = -Г-Ж In \х\ + Сх.

Уравнения (1.34) и (1.50) называются уравнениями, записанными в каноническом виде.

Если хотя бы один из корней характеристического уравнения равен нулю, то уравнения (1.29) линейно зависимы, их можно сократить и урав­нение (1.29) принимает вид

и решения на плоскости (х,у) изображаются параллельными прямыми.