7.1. Дискретный аналог уравнения Ферхюльста

Не только в научных исследованиях, но и в повсе­дневном мире экономики и политики всем нам будет лучше, если больше людей поймет, что простые нели­нейные системы не обязательно проявляют простые динамические свойства.

Роберт Мэй¹

Рассмотрим еще одну модель динамики биологической популяции. Пусть у некоторого вида поколения не взаимодействуют между собой. Обычно такая ситуация встречается у насекомых. Некоторый вид бабо­чек откладывает яйца и погибает. Из яиц потомство появляется только на следующее лето (пройдя, естественно, соответствующие ступени пре­вращений). Таким образом, поколения бабочек не взаимодействуют, хо­тя численность одного поколения связана с численностью предыдущего поколения. Мы имеем систему с дискретным временем. Динамику та­кой системы естественно описывать не дифференциальным, а разностным уравнением

Zn+i = 4гх_п(1 — х_п). С⁷-¹'

'Nature Vol. 261 June 10 1976

Данное уравнение является дискретным аналогом логистического уравнения (2.3). Для того чтобы численность популяций никогда не была отрицательной, параметр г должен принимать значения от 0 до 1.

0.

В зависимости от величины параметра г система может демонстриро­вать различное поведение:

1. Популяция с течением времени может вымереть: lim х_г.

2. Численность популяции может стабилизироваться на некоторой ве­личине: lim х_п = X_stab-

ОС

2. Численность может испытывать периодические колебания, повторя­ясь через некоторое число шагов: х_п+т — х_п. При этом т = р^к, то есть в системе имеется m стационарных точек, система последо­вательно переходит из одной стационарной точки в другую. В этом случае говорят о р^к-периодическом движении.

3. Численность популяции может меняться хаотически.

Все возможные варианты поведения системы представлены на рис. 7.1.

:бый интерес представляет область хаотического поведения системы.

I область имеет фрактальную структуру. Увеличив любой из фрагмен- этой области, мы увидим, что его структура подобна всей области.

2. Универсальность Фейгенбаума

Подробный анализ поведения уравнения (7.1) провел Митчел Фейген- в 1975 г. Он открыл ряд универсальных закономерностей в поведе- систем вида

Хп+1 = f(x_n)-

=

"и функция / имеет единственный квадратичный максимум, то систе- Лереходит к хаосу через последовательность удвоений периода. ,:^сли обозначить через г_п значение параметра г, при котором проис- т n-е удвоение периода, то

г_п сх <Г^П.

обозначить

Гп+1 ~ Г_п

г_п+г ~ r_n+i'

Рис. 7.1. Логистическое отображение

достоянная Фейгенбаума 6 может быть вычислена как 6 = Иш 6_п =

п—>оо

92016... Величина г^ = 0.892486417967... определяет границу обла- хаоса.

= -а,

Расстояние d_n от точки х = 1/2 до ближайшей к ней точки на п-м те подчиняется следующей закономерности

hm

п-^оо d_n+i

а = 2.502927875... и также является универсальной константой.

. Другие отображения

(7.2)

(7.3)

(7.4)

Можно построить разнообразные одномерные и двумерные отображе- _t. обладающие хаотическими свойствами. Одним из примеров может ить двумерный аналог уравнения Фейгенбаума

&П+1 — Уп Уп+i = а - х_п.

При а = —0.4224 эта система уравнений проявляет бесконечно слож- поведение. Обобщением этой системы является сжимающее отобра- ие Фейгенбаума с |Ь| < 1.

^хп+1 — Уп ^ХП1 Уп+1 = а + Ьх_п.

Еще одни пример двумерного отображения с хаотическими свойства- консервативное отображение Хенбна (Энбна) (Нёпоп, 1976).

x_n+i = 1-ах_п+у_п, Уп+1 ⁼

ческое поведение можно наблюдать при значениях параметров 0.95 а = 3.02.

(7.5)

В случае диссипативное отображение Хенона

х_п+1 = 1 - ах_п + у_п, Уп+1 = Ьх_п.

Рис. 7.2. Отображение Энона

хаотическое поведение наблюдается при b ~ 0.3, а = 1.4.

(7.6)

Динамика популяции насекомых, численность которых ограничена эпидемиями, описывается отображением с функцией

f(x) = жехр(г(1 — ж)).

Это отображение так же демонстрирует хаотическое поведение.

(7.7)

Еще одно уравнение, которое используется для описания динамики популяции насекомых,

x„+i = Ах„(1 +

Таким образом, хаотическое поведение, не является чем-то исключи­тельным, а возникает достаточно часто в разнообразных моделях.