Министерство образования и науки Российской Федерации

САНКТ – ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Д.А. Тархов, А.М. Никулин, Т.А. Шемякина

МАТЕМАТИКА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

Издательство СПбГПУ

2013

Д.А. Тархов, А.М. Никулин, Т.А. Шемякина Математика. Интегральное исчисление функции одной переменной: учебное пособие / Д.А. Тархов, А.М. Никулин, Т.А. Шемякина. − СПб.: – Изд-во Политехн. ун-та, 2013. – 33 с.

Учебное пособие соответствует содержанию Федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования дисциплины «Высшая математика» направления подготовки и переподготовки бакалавров по специальности 280700.62 «Техносферная безопасность».

В пособии кратко изложены теоретические основы по курсу «Высшая математика», который представлен разделами «Интегральное исчисление функции одной переменной». Приведены многочисленные примеры с методическими рекомендациями по их решению.

Предназначено для студентов высших учебных заведений технических и экономических направлений, изучающих дисциплину «Высшая математика». Пособие может быть использовано при подготовке бакалавров, магистров, аспирантов и в системе дополнительного профессионального образования, а также оно будет полезно для преподавателей дневных, вечерних и заочных отделений вузов и технических университетов.

Библиогр.:5 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета «Комплексная безопасность» Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

© Санкт- Петербургский государственный

политехнический университет, 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ………….…………………………….………………………..4

§1. Первообразная. Неопределенный интеграл……………………….…..5

§2. Разложение рациональной дроби на простейшие………………….…7

2.1. Многочлены и алгебраические уравнения………………………..7

2.2. Интегрирование простейших дробей……………………………...10

§3. Определенный интеграл Ньютона………………………………….....13

§4. Интегрирование и дифференцирование рядов. Формула

Тейлора и ряд Тейлора………………………..………………….……..14

§5. Определенный интеграл Римана………………...……………………16

§6. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана….20

§7. Несобственный интеграл………………………………………….……23

§8. Приложение интеграла Римана…………………….………………….30

Вопросы к коллоквиуму………………………………………….……...32

ЛИТЕРАТУРА……………….………………………………………….....33

Введение

Математический анализ составляет важнейшую часть основы высшей математики. Данное учебное пособие посвящено системному изучению начальных понятий математического анализа.

Целью данного пособия является помощь в усвоении математики, развитие навыков и умения в решении студентами задач математического анализа по указанным в нем темам в объеме действующих программ курса высшей математики.

В пособии кратко изложен теоретический материал по разделу «Математический анализ», представленный темой «Интегрирование функций одной переменой». При изложении теории приведены многочисленные примеры с методическими рекомендациями по их решению.

В пособии содержатся теоретические вопросы для подготовки к коллоквиуму по разделу «Интегрирование функций одной переменой».

§1. Первобразная. Неопределенный интеграл

В данном разделе обсуждается операция, обратная к дифференцированию, которая называется интегрированием.

Определение. Функция называется первообразной для функции на некотором открытом интервале, если на нём выполняется равенство .

Заметим, что при добавлении постоянной к первообразной снова получается первообразная: . Более того, можно убедиться, что так получаются все первообразные для данной функции.

Действительно, пусть – фиксированная первообразная для , т. е. , а любая другая первообразная на том же промежутке, т.е. , тогда . Обозначим . В рассматриваемый открытый интервал можно вложить замкнутый отрезок . Для любого такого отрезка по формуле Лагранжа имеем: , откуда , т.к. . Таким образом, , т.е. и различаются на константу.

Заметим, что на различных интервалах области определения функции константы могут быть разные.

Пример: Пусть , тогда , но в точке функция прерывается, поэтому при и постоянные можно выбирать независимо, фиксируя различные функции из семейства первообразных.

В дальнейшем, как правило, мы будем рассматривать первообразные для функций, заданных на некотором открытом или замкнутом интервале, уходя от указанной проблемы.

Определение. Неопределенный интеграл - это множество всех первообразных данной функции.

Обозначается неопределённый интеграл через .

Свойства неопределенного интеграла:

1. Линейность:

а) .

Доказательство.

Пусть , , тогда . При этом левая часть доказываемого равенства равна , где пробегает всё множество констант.

Слагаемые правой части имеют вид и , где и пробегают всё множество констант и можно считать, что , так как суммой констант является константа и любую константу можно представить в виде суммы двух других констант.

б) , .

Доказательство аналогично приведённому выше и оставляется читателю в качестве упражнения.

2) Интегрирование по частям. Интегрируя формулу производной произведения , получаем равенство или

, в краткой форме . Формальное доказательство строится на том, что производная левой части равна производной правой части, следовательно, эти выражения отличаются на константу, которая уходит в неопределённый интеграл.

Пример. Вычислить .

Выберем , , т.е. . Из формулы интегрирования по частям .

3) Формула замены переменной. Данная формула является следствием формулы дифференцирования сложной функции . Интегрируя, получаем ; здесь ; . Рассуждения про множество констант повторяют приведённые выше: пусть , - искомый неопределённый интеграл. Дифференцируем с учётом замены переменных: .

Пример: .