§ 3.1 Волновое уравнение для эл.-м.Волн
3.1.1.Уравнения Максвелла для волнового поля
Эл.-маг. волны это переменные эл. и маг. поля или иначе возмущения в виде полей. К их наличию при определённых условиях можно прийти исходя из классической теории Максвелла.
Система уравнений М. в дифф. форме:
rot
= -
(I); div
= ρ (III);
rot
=
+
(II); div
= 0 (IV);
= εo ε (V); = μo μ (VI); = γ (VII).
Однозначность их решений определяется начальными и граничными условиями.
Однажды возбуждённое эл.-м. поле может существовать само по себе, независимо от источников в форме волны в области, где нет свободных зарядов и нет переменных токов.
3.1.2. Волновое уравнение
Итак: пусть среда однородна и изотропна и нет в ней свободных зарядов и макротоков (j = 0, ρ = 0).
Допустим, что плоская волна распространяется в направлении оси ОХ.
Тогда:
функции
(х,t)
и
(х,t)
и их проекции не будут зависеть от z
и
у,
а производные
,
и
(здесь
i=
z,у,x)
будут
равны нулю.
Учитывая, что:
[
rot
]x
=
-
- μo
μ
,
и выражая аналогично
[ rot ]z и [ rot ]z ,
получают:
-
μo
μ
=
,
εo
ε
= -
(*)
εo
ε
=
,
-
μo
μ
=
-
,
(**)
Достаточно воспользоваться первой парой уравнений (*) для Ey и Hz , причём будем исключать наличие статических полей Ex и Hx
(т.
к. имеем
,
= 0).
Для
Ez
и
Hy
ситуация
подобна.
Дифференцируя
по t
второе
ур-е в (*), меняя порядок производной по
времени и координате (
=
)
и
используя первое уравнение (*)
получаем:
=
Приняв за квадрат фазовой скорости υ2 приходим к волновому уравнению для плоской волны Еу (х,t). Второе уравнение для Нz (х,t) получают аналогично. Итак:
= υ2 (2.1)
|
=
υ2
Волновое ур-е эл.-м. волны включает два независимых уравнения для Еу (х,t) и Нz (х,t), их вид – и есть решения (2.1):
Еу (х,t) = Еm cos(ωt - kx + φoE)
Hz (х,t) = Hm cos(ωt - kx + φoH)
В экспоненциальной форме
Еу
(х,t)
= Еm
Hz
(х,t)
= Hm
§ 2.2 Характеристики эл.-м. Волны
Поперечность эл.-м. волны
Мы пришли к тому, что плоская волна распространяется в направлении 0Х
При
этом:
= Еy
;
=
Hz
или
,
волна поперечна.
0Х
– нормали
к к её фронту. который
У0Z.
Фазовая скорость
υф
υр
=υ
и направлена по 0Х. υ =
=
Тройка
векторов
,
и
- правовинтовая.
В
вакууме
ε =1, μ =1, соответственно υф
= с
– скорости света
В
среде υф
=
.
Синфазность волн
Если записать решения для Еу (х,t) и Hz (х,t) в экспоненциальной форме и
воспользоваться вторым уравнением пары (*), то
k
Hm
= εoε
ωEm
(***)
или
Равенство возможно только при условии,что
=
Связь амплитуд
Из (***) также следует с учётом взаимосвязи ω, υ и k
Em
=
Нm
В принципе, это связь между Е и Н.
Поляризация эл.-м. волны
Волна поперечна. Вектор колеблется в плоскости УХ, в пл. ZХ.
[ ] 0Х
Отметим, что в электромагн. волне силовым вектором является .
Отношение эл. и маг. сил, действующих на движущийся cо скоростью υ заряд в поле волны
=
,
c – скорость света.