- •Лабораторная работа 2 тема: Решение трансцендентных уравнений
- •Задание.
- •Краткие теоретические сведения
- •Пример выполнения задания в среде Excel
- •Отделение корней
- •Уточнение корней методом дихотомий или методом хорд
- •Уточнение корней методом простых итераций
- •Пример выполнения задания в среде Mathcad
- •Контрольные вопросы
Уточнение корней методом дихотомий или методом хорд
Проведем уточнение корней уравнения lnx–2+x=0 на интервале 1,55<х<1,9, воспользовавшись алгоритмом метода дихотомий (метода хорд).
Введем заголовки новой таблицы:
E5 Уточнение корней методом дихотомий (хорд) .
D6A E6 F(A) F6 B G6 F(B) H6 P I6 F(P)
Для метода дихотомий: J6 B-A . Для метода хорд: J6 R
K6 N (столбец для номеров итерации).
Введем начальные значения A и B, найденные на этапе отделения корней:
D7 1,55 F7 1,9
Введем формулы вычисления значений функции F(A), F(B)
E7 = LN(D7)-2+D7 G7 = LN(F7)-2+F7 ( можно скопировать B6 в E7 и G7 ) .
Введем формулу вычисления P
Для метода дихотомий: H7 =(D7+F7)/2
Для метода хорд: H7 =(D7*G7-F7*E7)/(G7-E7)
Введем формулу вычисления значений функции F(P):
I7 = LN(H7)-2+H7 ( можно скопировать G7 в I7 ) .
В клетки D8, E8 записываем логические функции поиска концов нового интервала [A,B]:
D8 =ЕСЛИ(E7*I7>0;H7;D7) F8 =ЕСЛИ(G7*I7>0;H7;F7) .
Скопируем ячейки E?-A<7 в E8, G7 в G8, диапазон H7:I7 в диапазон H8:I8.
Скопируем диапазон D8:I8 в диапазон D9:I21.
В столбце J сформируем ошибку текущей итерации:
Для метода дихотомий: J7 =F7-D7 . Копируем J7 в диапазон J8:J21
Для метода хорд: J7-пусто, J8 =ABS(H7-H8) . Копируем J8 в диапазон J9:J21.
В столбце K сформируем номера итераций:
K81 K92 . Копируем диапазон K8:K9 вниз до K21.
В результате выполнения этих действий на экране будет представлено:
в случае метода дихотомий
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
||||||||
1 |
|
Решение уравнения lnx–2+x=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
Иванов И.И. Группа СВ-1Х1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
Отделение корней |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
Хнач= |
0,5 |
Хкон= |
7,5 |
Н= |
0,35 |
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
X |
F |
|
Уточнение корней методом дихотомий |
|||||||||||||||
6 |
0,50 |
-2,193147 |
|
A |
F(A) |
B |
F(B) |
P |
F(P) |
B-A |
N |
||||||||
7 |
0,85 |
-1,312519 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,9 |
0,5418539 |
1,7250000 |
0,270227 |
0,350000 |
1 |
||||||||
8 |
1,20 |
-0,617678 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,725 |
0,2702271 |
1,6375000 |
0,130671 |
0,175000 |
2 |
||||||||
9 |
1,55 |
-0,011745 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,6375 |
0,1306707 |
1,5937500 |
0,059840 |
0,087500 |
3 |
||||||||
10 |
1,90 |
0,541854 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,59375 |
0,0598397 |
1,5718750 |
0,024144 |
0,043750 |
4 |
||||||||
11 |
2,25 |
1,060930 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,571875 |
0,0241442 |
1,5609375 |
0,006224 |
0,021875 |
5 |
||||||||
12 |
2,60 |
1,555511 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5609375 |
0,0062241 |
1,5554688 |
-0,002754 |
0,010938 |
6 |
||||||||
13 |
2,95 |
2,031805 |
|
1,5554688 |
-0,0027543 |
1,5609375 |
0,0062241 |
1,5582031 |
0,001736 |
0,005469 |
7 |
||||||||
14 |
3,30 |
2,493922 |
|
1,5554688 |
-0,0027543 |
1,5582031 |
0,0017364 |
1,5568359 |
-0,000509 |
0,002734 |
8 |
||||||||
15 |
3,65 |
2,944727 |
|
1,5568359 |
-0,0005085 |
1,5582031 |
0,0017364 |
1,5575195 |
0,000614 |
0,001367 |
9 |
||||||||
16 |
4,00 |
3,386294 |
|
1,5568359 |
-0,0005085 |
1,5575195 |
0,0006140 |
1,5571777 |
0,000053 |
0,000684 |
10 |
||||||||
17 |
4,35 |
3,820176 |
|
1,5568359 |
-0,0005085 |
1,5571777 |
0,0000528 |
1,5570068 |
-0,000228 |
0,000342 |
11 |
||||||||
18 |
4,70 |
4,247563 |
|
1,5570068 |
-0,0002279 |
1,5571777 |
0,0000528 |
1,5570923 |
-0,000088 |
0,000171 |
12 |
||||||||
19 |
5,05 |
4,669388 |
|
1,5570923 |
-0,0000876 |
1,5571777 |
0,0000528 |
1,5571350 |
-0,000017 |
0,000085 |
13 |
||||||||
20 |
5,40 |
5,086399 |
|
1,5571350 |
-0,0000174 |
1,5571777 |
0,0000528 |
1,5571564 |
0,000018 |
0,000043 |
14 |
||||||||
21 |
5,75 |
5,499200 |
|
1,5571350 |
-0,0000174 |
1,5571564 |
0,0000177 |
1,5571457 |
0,000000 |
0,000021 |
15 |
||||||||
22 |
6,10 |
5,908289 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23 |
6,45 |
6,314080 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24 |
6,80 |
6,716923 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25 |
7,15 |
7,117112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
26 |
7,50 |
7,514903 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
либо в случае метода хорд
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
||||||||
1 |
|
Решение уравнения lnx–2+x=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
Иванов И.И. Группа СВ-1Х2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
Отделение корней |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
Хнач= |
0,5 |
Хкон= |
7,5 |
Н= |
0,35 |
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
X |
F |
|
Уточнение корней методом хорд |
|||||||||||||||
6 |
0,50 |
-2,193147 |
|
A |
F(A) |
B |
F(B) |
P |
F(P) |
R |
N |
||||||||
7 |
0,85 |
-1,312519 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,9000000 |
0,5418539 |
1,5574255 |
0,0004597 |
|
1 |
||||||||
8 |
1,20 |
-0,617678 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5574255 |
0,0004597 |
1,5571459 |
0,0000004 |
0,0002797 |
2 |
||||||||
9 |
1,55 |
-0,011745 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571459 |
0,0000004 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000003 |
3 |
||||||||
10 |
1,90 |
0,541854 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
4 |
||||||||
11 |
2,25 |
1,060930 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
5 |
||||||||
12 |
2,60 |
1,555511 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
6 |
||||||||
13 |
2,95 |
2,031805 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
7 |
||||||||
14 |
3,30 |
2,493922 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
8 |
||||||||
15 |
3,65 |
2,944727 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
9 |
||||||||
16 |
4,00 |
3,386294 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
10 |
||||||||
17 |
4,35 |
3,820176 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
11 |
||||||||
18 |
4,70 |
4,247563 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
12 |
||||||||
19 |
5,05 |
4,669388 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
13 |
||||||||
20 |
5,40 |
5,086399 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
14 |
||||||||
21 |
5,75 |
5,499200 |
|
1,55 |
-0,0117451 |
1,5571456 |
0,0000000 |
1,5571456 |
0,0000000 |
0,0000000 |
15 |
||||||||
22 |
6,10 |
5,908289 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23 |
6,45 |
6,314080 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
24 |
6,80 |
6,716923 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25 |
7,15 |
7,117112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
26 |
7,50 |
7,514903 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
После выполнения этих действий в клетках столбца F будут находиться последовательные приближения к точному значению корня с ошибкой, которая отражается в столбце J. Как только ошибка станет меньше заданной точности ε, то мы можем считать задачу выполненной. Так как задана точность ε=0,0001, то из приведенных выше таблиц видно, что в случае метода дихотомий в качестве ответа можно взять значение 1,557135, достигнутое на 13-й итерации, а в случае метода хорд – значение 1,557146, достигнутое на 3-й итерации.