Вступ

Економетрика – фундаментальна економіко-математична наука, яка на основі статистичних даних про соціально-економічні процеси вивчає методику побудови економічних моделей для відображення закономірностей, кількісних зв’язків, динаміки цих процесів в економічному просторі з метою прогнозування, аналізу взаємного впливу явищ та прийняття оптимальних рішень щодо планування, розподілу матеріальних, трудових, фінансових ресурсів.

Економетричне моделювання стрімко увійшло в різноманітні сфери економічних досліджень. Важко уявити сучасного економіста без володіння хоча б базовим економетричним інструментарієм. Економетричні методи та моделі все більше використовуються не тільки у прогнозуванні, а й для підтвердження певних гіпотез щодо розвитку економічних процесів, аналізу взаємозв’язків різноманітних факторів, виявлення їх впливу на макро- та мікроекономічні явища, для емпіричного тестування економічної теорії, розробки і аналізу сценаріїв економічного розвитку та прийняття відповідних рішень.

Через великий обсяг розрахунків будувати економетричні моделі без використання ПЕОМ неможливо. У плані використання ПЕОМ під час побудови економетричних моделей дуже зручним є пакет електронних таблиць, зокрема MS Excel.

При побудові економетричної моделі з використанням електронних таблиць, по-перше, простежується алгоритм розв’язку задачі; по-друге, студент набуває навиків від рутинної роботи розрахунків і, по-третє, студент навчається досконало володіти електронними таблицями.

Навчальний посібник підготовлено на допомогу студентами при виконанні лабораторних робіт № 1, 2 на теми: „Парна лінійна регресія” та „Нелінійна парна регресія”, використовуючи джерела [1] – [6]. До кожної лабораторної роботи пропонується список завдань, робочі формули, які необхідні при виконання завдань, детальний хід виконання кожної роботи засобами електронних таблиць MS Excel.

Навчальний посібник містить теоретичні відомості, варіанти індивідуальних завдань для виконання лабораторних робіт, зразок виконання лабораторних робіт для одного варіанту і контрольні запитання, що охоплюють перші дві базові теми: “Парні лінійна регресія” і “Нелінійна парна регресія”.

Даний посібник може бути корисним для студентів економічних спеціальностей всіх форм навчання, які вивчають розглянуті вище теми у курсі “Економетрика”.

Лабораторна робота № 1 Парна лінійна регресія Завдання

1. На основі статистичних даних показника Y і фактора X знайти оцінки параметрів a і b та побудувати модель парної лінійної регресії.

2. Знайти коефіцієнти кореляції та детермінації.

3. Зробити аналіз парної лінійної регресії за параметрами a і b та коефіцієнтом кореляції. Використовуючи t-критерій, з надійністю p = 0,95 оцінити значущість коефіцієнта кореляції.

4. Використовуючи критерій Фішера, з надійністю p = 0,95 оцінити адекватність прийнятої економічної моделі статистичним даним.

5. Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти:

   • з надійністю p = 0,95 надійні зони базисних даних та параметрів регресії;

   • прогноз показника та його надійні інтервали;

   • коефіцієнт еластичності для базисних даних і прогнозу.

6. Побудувати графіки:

   • статистичних даних;

   • лінії регресії та її надійної зони;

   • лінії коефіцієнта еластичності.

7. Зробити висновки.

Варіанти вихідних даних для лабораторної роботи № 1 див. у табл. 1, 2.

Результати розрахунків для побудови парної лінійної регресії та її аналізу у випадку, якщо фактор X – власний доход, показник Y – одяг, кількість спостережень n = 13 наведені у табл. 3.

Теоретичні відомості

Першою проблемою дослідження економічних процесів і систем є пошук і математичний опис залежностей між різними величинами які певним чином взаємодіють між собою і визначають стан об’єкта дослідження. Парною лінійною регресією Y на X називається стохастична лінійна залежність між випадковими величинами показника Y та фактора X, причому зміна фактора викликає зміну показника. Слід відрізняти стохастичну залежність від функціональної. При стохастичній залежності одному значенню фактора може відповідати кілька значень показника. При функціональній залежності одному значенню аргумента відповідає лише одне значення функції. Розглянемо модель лінійної регресії. Припустимо, що маємо результати n пар спостережень, зображених у вигляді множини точок у декартовій системі координат. Висуваємо гіпотезу, що між показником Y і фактором X існує стохастична лінійна залежність, яка записується у вигляді

Y = X +  + u, (1.1)

де  і  - невідомі параметри регресії, u – випадкова змінна, що характеризує відхилення паралельно осі OY спостережуваних точок від лінії регресії.

Справжні значення параметрів  і  обчислити не можна. Позначимо через a і b відповідні оцінки параметрів  і . Тоді рівняння парної лінійної регресії

= aX + b (1.2)

є оцінкою моделі (1.1). Суть задачі полягає в тому, щоб у декартовій системі координат побудувати і дослідити згладжувальну лінію, яка “найкращим” чином проходить через задану множину точок.

Методичні вказівки

1. Згідно з методом найменших квадратів, параметри a і b парної лінійної регресії обчислюються за формулами

, (1.3)

, (1.4)

де K(X, Y) – кореляційний момент:

, (1.5)

D(X) – дисперсія фактора:

, (1.6)

, - середні значення відповідно фактора X і показника Y:

, . (1.7)

Обчисливши параметри a і b, знаходимо розрахункове значення показника за формулою (1.2).

2. Для визначення коефіцієнта кореляції можна користуватись такою формулою

, (1.8)

де K(X, Y) – кореляційний момент обчислюється за формулою (1.5), D(X) – дисперсія фактора – за формулою (1.6), а D(Y) – дисперсія показника Y:

. (1.9)

Коефіцієнтом детермінації називають величину R², яка обчислюється за формулою

, (1.10)

Для обчислення D( ) потрібно у формули (1.9) і (1.7) замість Y підставити його розрахункове значення , тобто

. (1.11)

Для парної лінійної регресії коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції, тобто

R² = r². (1.12)

3. Знак параметр a збігається із знаком коефіцієнта кореляції. Якщо a > 0 (r > 0), то між величинами X та Y існує прямий зв’язок, тобто якщо зростає (спадає) фактор, то відповідно зростає (спадає) показник Y. Якщо a < 0 (r < 0), то між величинами X та Y існує зворотний зв’язок, тобто якщо зростає (спадає) фактор, то відповідно спадає (зростає) показник Y.

Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь щільності лінійної залежності між випадковими величинами (X, Y) і змінюється в межах від –1 до 1, тобто

-1  r(X, Y)  1.

Число R називають індексом кореляції. Очевидно, що 0  R  1. Чим ближче спостережувані значення наближаються до лінії регресії, тим ближче значення R до одиниці. Якщо , то зміни Y не пов’язані зі змінами X, тобто R = 0.

Вибірковий коефіцієнт кореляції, здобутий за вибірковими даними, є точковою оцінкою коефіцієнта кореляції і, у свою чергу, є випадковою величиною. Тому доцільно зробити перевірку гіпотези про відсутність кореляційного зв’язку.

Перевіряється нульова гіпотеза H₀: r = 0 і альтернативна гіпотеза H₁: r  0. Для цього використовуємо t-критерій, згідно з яким

, (1.13)

де r – коефіцієнт кореляції, m – число факторів, включених у регресію (в нашому випадку m = 1), n – m – 1 – число ступенів вільності. Для заданої ймовірності p і заданого числа ступенів вільності знаходимо табличне значення t_крит. = t(p, k).

Якщо |t_розр.| > |t_крит.|, то із заданою надійністю p гіпотезу H₀ між випадковими величинами X, Y слід відкинути й прийняти альтернативну їй гіпотезу H₁ про наявність залежності між випадковими величинами.

4. Для визначення адекватності прийнятої економетричної моделі експериментальним даним використовують F-критерій Фішера, згідно з яким обчислюємо

, (1.14)

де R² – коефіцієнт детермінації, n і m такі, як у п.3.

Для заданої ймовірності p та чисел k₁ = m і k₂ = n – m – 1 знаходимо табличне значення F_крит. = F(p, k₁, k₂). Якщо F_розр. > F_крит., то можна зробити висновок, що коефіцієнт детермінації знайдено правильно, тобто модель адекватна своїм статистичним даним.

5. Для невідомих параметрів ,  і показника Y встановлюються такі надійні інтервали:

a - a <  < a + a, (1.15)

b - b <  < b + b, (1.16)

, i = , (1.17)

де

a = t_крит. , (1.18)

, (1.19)

, u_i = y_i - , i = , (1.20)

b = t_крит. , (1.21)

 = t_крит. , i = . (1.22)

Знайдена лінійна регресія дозволяє спрогнозувати значення показника для нового значення фактора x_p, тобто значення прогнозу при заданому значенні фактора x_p визначається так:

= ax_p + b. (1.23)

Надійний інтервал для прогнозу

, (1.24)

де

y_p = t_крит. . (1.25)

В економічних задачах для оцінки впливу на показник будь-якого фактора часто використовують коефіцієнт еластичності. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на один відсоток.

Для парної регресії коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою

, i = . (1.26)