Тема 7: «Алгебра висловлювань»

1. Поняття «висловлювання». Операції над висловлюваннями.

2. Конструювання складних висловлювань.

3. Класифікація формул алгебри висловлювання.

Алгебра висловлювань (алгебра логіки, булева логіка, двійкова алгебра) - розділ математичної логіки, що вивчає систему логічних операцій над висловлюваннями. В даній алгебрі вираз може приймати лише 2 значення - І(істинність) або 0 (хибність). Висловлювання не може бути одночасно неправдою і істиною.

Введемо ф-цію А, яка задається на сукупності всіх висловлювань і що приймає значення елементів двоелементної множини {0,1} по наступному правилу:

1,якщо висловлювання Р є істиним 0, якщо висловлювання Р є хибним

Функція А називається функцією істинності, а значення А(Р) - логічним значенням, або значенням істинності висловлювання Р.

Примітка: Будемо позначати висловлювання великими літерами латинського алфавіту або цими ж літерами з індексом. Приклади висловлювань: А_:- "Київ - столиця України" А2 - "Чернігів розташований на березі Десни" А₃ - "7 < 4"

А₄- "Т.Г.Шевченко - великий український математик

А(А_Х) - 1 А(А₂) = 1 А(Аз) = 0 А(А₄) = о

Визначення 2:

Запереченням висловлювання Р називається нове висловлювання, яке позначається -^Р і читається "не Р", яке є істинним, коли висловлювання Р є хибним, і хибним, якщо висловлювання Р є істинним.

А(Р)

о

Іншими словами логічне значення висловлювання ->Р зв'язане з логічним значенням вхідного висловлювання Р, як показано в таблиці, яку називають таблицею істинності:

' А(-Р)

1

о

Ж-а) = -і(я(л₂)) = -.і = о

Визначення 3:

Кон'юнкцією двох висловлювань Р і О. називається нове висловлювання, яке позначається Р Л () і читається "Р і О.", яке є істинним тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання Р і О. є істинними, і хибним у всіх інших випадках.

Іншими словами логічне значення висловлювання "Р і С}" зв'язане з логічними значеннями вхідних висловлювань Р і О, як показано в таблиці, яку називають таблицею істинності:

\(Р)	А(Ц)	А(РЛЦ)
1	0	0
0	1	0
1	1	1
0	0	0

Я(л_г А л₄) = 0

Визначення 4:

Диз'юнкцією двох висловлювань Р і Ц називається нове висловлювання, яке позначається Р V і читається "Р або О.", яке є істинним тоді, коли хоча б одне з висловлювань Р і Цє істинними, і хибним, коли обидва висловлювання є хибними.

Іншими словами логічне значення висловлювання "Р або Ц" зв'язане з логічними значеннями вхідних висловлювань Р і О., як показано в таблиці, яку називають таблицею істинності:

Л(Р)	А(Ц)	Л(Р ■ а)
1	0	і
0	1	і
1	1	і
0	0	0

Х(А_г V А₄) = 1

Визначення 5:

Імплікацією двох висловлювань Р і О називається нове висловлювання, яке позначається Р і читається "якщо Р, то СГ, яке є хибним тоді коли Р є істинним, а висловлювання Ц є

неправдою, у всіх інших випадках є істинною.

Іншими словами логічне значення висловлювання "якщо Р, то Ц" зв'язане з логічними значеннями вхідних висловлювань Р і Ц, як показано в таблиці, яку називають таблицею істинності:

А(Р)	Ш)	Л(Р
		а)
1	0	0
0	1	1
1	1	1
0	0	1

і

г

о

Сі

о

Визначення б:

Еквівалентністю двох висловлювань Р і Ц називається нове висловлювання, яке позначається Р і читається "Р - еквівалентно СІ", яке є істинним тоді, коли Р і О. є обидва

або істинними, або хибними; у всіх інших випадках є хі бним.

Іншими словами логічне значення висловлювання "Р- еквівалентно логічними значеннями вхідних висловлювань Р і 0., як показано в таблиці, таблицею істинності:

і

А(Р)	А(О)	А(Р
		а)
1	0	0
0	1	0
1	1	1
; 0_	0	1

Зауваження' в алгебрі висловлювань нас цікавить лише логічне значення висловлювання, або значення істинності, а не їх зміст, тому кожне з введених означень (заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквівалентність) можна розглядати як визначення деякої дії над символами 0 і 1. Тобто як визначення деякої операції на двоелементній множині 0, 1. Враховуючи правила дії символами 0 і 1, що визначені таблицями істинності операцій заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквівалентність можна записати:

А(-	пР)	= -.(А(Р))
Я(Р А	0.)	= лСР)А л(р)
Я(Р V		= ж
Я(Р	а)	= я(р) - я(^)
Я(Р ^	а)	= я(Р)« я(д)

Конструювання складних висловлювань

Розглянемо наступні висловлювання:

Якщо Т.Г.Шевченко - великий український математик і Київ - столиця України, то "7<4".

(Л₄ А Л_г) Л₃

Я((Л₄ А Л₁) -> Л₃) = Я(Л₄ А А_л) -> Я(Л₃) = (0 А 1) -> 0 = 0 0 = 1

Отже висловлювання конструюється з простих висловлювань А4, А1 і АЗ. Для визначення істинності складного висловлювання необхідно до перших двох застосувати операцію кон'юнкції, а потім до отриманого висловлювання і висловлювання АЗ застосувати операцію імплікації. Цей словесний опис схеми конструювання даного висловлювання можна замінити (X А у) —> 2. Деякі символи, змінні, замість яких можна підставляти будь-які конкретні висловлювання, ця схема може бути застосована до будь-яких висловлювань, а не тільки до А4, А1 і АЗ. Символічний опис (х А у) —> 2 є свого роду формулою. В дану формулу замість х, у, г можна підставити конкретні висловлювання після чого вся формула перетвориться в зіставне висловлювання. Змінні замість яких можна підставити висловлювання називаються пропозиціональними змінними, або змінними висловлювань. Будемо позначати пропозиціональні змінні великими літерами латинського алфавіту Р, О, X, У, 2, або цими ж літерами з індексами Р\, Р₂, ..., 1_п, 2_{п +} -].

Визначення формули алгебри висловлювань

1. - Кожна окрема пропозиціональна змінна є формулою алгебри висловлювань.

2. Якщо Рі і Р₂ є формулами алгебри висловлювань, то формули —\Р\, Р] А Р₂, V Р₂1 ~' 1 ^є формулами алгебри висловлювань.

3. Ніяких інших формул крім тих, які вказані в пункті 1-2 в алгебрі висловлювань не існує.

Якщо у формулу алгебри висловлювань /^;(х,, х ,, ..., Х_п) замість пропозиціональних

О" зв'язане з яку називають

змінних Хі, Х_г, ..., Х_п підставимо конкретні висловлювання А _], Л₂, ■■■, А_п, то отримаємо

деяке нове зіставне висловлювання Р (А ,, А₂, ..., А_п). Дане висловлювання називається конкретизацією формули Р{х_г, Х₂, ■■■, Х_п) на виборі висловлювань А₁, А ,, ..., А_п.

Теорема 1:

Логічні значення зі ставного висловлювання Р (А_а, А₂, ..., А _п) дорівнює значенню формули Р(Х Х₂, ■■■, Х_п ) та наборі А(А-₁),А(А₂),. , А(А_п) логічних значень висловлювань , А₂, ...,А_п.

Тобто Х(ПАх.Аг А_п)) = Р{КА_г,А₂ А_п)) = /•'(Л(,4₁), Л(Л₂) Я(Л„))

Висновок: Логічне значення зіставного висловлювання є знаходження деякого логічного виразу при деякому наборі конкретних значень всіх пропозиціональних змінних, що входять у дане висловлювання.

При цьому пропозицюнальнї змінні мо>і< г: .ір.ій ■.їли значення 0, або 1. Сам вираз приймає значення 0, або 1, і обчислює це значення шляхом застосування до значень 0 і 1 логічних дій, які регламентуються деяким виразом. Логічні дії над величиною 0 і 1 виконуються за правилами, які визначені таблицями істинності цих дій (заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквівалентність).

На основі теореми 1 даної лекції можна для конкретної формули Р алгебри висловлювань знайти логічні значення ьсіх тил висловлювань, які в формулах перетворюються при підстановці замість всіх її пропозиціональних змінних різних конкретних висловлювань. При цьому говорять про логічні значення самої змінної і про логічні значення про позиційної змінної:

Приклад 1:

Р = ) V -.У Г)

А((Х У) V (Г

К*)

КУ)

А(X У)

А(У X)

1 1 о

і

о

і о

Ю) 1

о

о

1

1

Зауваження: Перші два стовпчики і останній стовпчик задають відповідності між логічними значеннями вхідних висловлювань і логічними значеннями зіставлених висловлювань, які отримані за даною формулою. Ці три стовпчики і утворюють таблицю істинності для формули Р. Інші 2 стовпчики носять допоміжний характер.

Приклад 2:

і^:(р,(),р) - ІР л §) -> (р ~ ью)

КР)	Ш	А(Я)	А^Р)	А(Р А (?)	А(Р (-і/?))	Л((Р А (2) ^ (Р ~ (пЯ)))
1	і	і	0	1	0	0
1	і	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	1
0 .	0	0	1	0	0	1
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	0	1
1	0	1	0	0	0	1

Фомули алгебри висловлювань поділяються на:

1. ті, що виконуються

2. тавтології

3. ті, що спростовуються

4. ті, що є тотожно неправдивими

   1. Формула алгебри висловлювання Р(х1, х2, х3...хп) є такою, яку можна виконати, якщо деяка її конкретизація є істиною у висловлюваннях, тобто існують такі конкретні висловлювання А1, А2,..,Ап, які будучи підставлені в деяку формулу замість змінних хі, х2,...,хп перетворюють її в істинне висловлювання. Твким чином, формула Р(х1,х2,...,хп) є такою, яку можна виконати, якщо існують такі конкретні висловлювання А1, А2,...,Ап, що

А(А1,А2,... ,Ап) = 1

2. Формула Р(х 1 х2 хп) називається тафтологією або тотожно істинною, якщо вона перетворюється в істинне висловлювання при любій підстановці замість змінних конкретних висловлюваннях А1 А2 Ап тобто АР(А1 А2 Ап)=1 для любих висловлювань А1 А2 Ап. Для позначення тафтології використовється знак | =, данний знак ставиться перед формулою яка є тафтологією, таким чином запис | =Р(х1 х2 хп) -формула Р є тафтологією.

3. Формула Р(х1 х2 хп) називають такою що спростовувується, якщо існують такі конкретні висловлювання А1 А2 Ап які перетворюють дану формулу у всловлювання, що є неправдою, тобто АР(А1 А2 Ап)=0

4. Формулу Р(х1, х2, х3...хп) називають тотожно неправдивою або протиріччям, якщо АР(А1 А2 Ап)=0 для любих конкретних висловлювань А1, А2,.., Ап. Іншими словами, протиріччя є формулою, яку неможливо виконати.

Ми з вами підійшли до фундаментального процесу дослідження математичним методом такої сфери як область людського мислення. Побудована своєрідна система знаків, символічна мова логіки висловлювань з допомогою якої можна спробувати виразити людську думку і прослідкувати отримані процеси мислення, вся ця мова базується на алфавіті що складається з наступних символів: пропозиціональних букв Р О Р; символів логічних операцій; , V, А, ->, <-->; логічних знаків (), ,. Словами побудованої мови є формули логіки висловлювань; речення природної мови можуть бути переведені на символічну мову логіки висловлювань, де вони представлені формулами логіки висловлювань. Формула представляє собою формалізовану послідовність знаків, що побудована по суворих правилах, порушення яких є неприпустимим. Такий переклад висловлювань природної мови на символічну мову називають його формалізацією. Формула логіки висловлювань сама по собі немає ніякого змісту, вона не є істиною і не є неправдивою, вона перетворюється у висловлювання істини або таке що є неправдою при любій підстановці замість всіх її пропозиціональни; змінних любих конкретних висловлювань. Такий процес підстановки називають інтерпритацією данної формули алгебри висловлювань. Таким чином існує два взаємно обернених процеси або дві процедури: формалізація і інтерпритація. Якщо формула Р і висловлювання А є результатом її інтерпитації, то сама формула Р є формалізацією висловлювання А. З іншого боку якщо є висловлювання А і формула Р є його формалізацією, то висловлювання А буде однією з інтерпритацій формули Р.

Висновок: формалізація - це перехід від висловлювань природної мови до формули логіки висловлювань, а інтерпритація - це перехід від формули логіки висловлювання до висловлювання на природнії мові. Таблиця істинності або таблиця значень логіки висловлювань - це таблиця, яка визначає логічне значення формули при любій її інтерпритації.